希尔伯特第三问题

在三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中,给定任意两个体积相等的多面体,是否总能将第一个多面体切割成有限多个多面体碎片,并通过刚体运动重新拼成第二个多面体?希尔伯特猜想答案为否,并要求给出两个体积相等但并非剪拼同余的多面体。

希尔伯特的学生马克斯·德恩于1900年解决了该问题——使其成为希尔伯特23个问题中最早获解的一个——他引入了德恩不变量 $\operatorname{Dehn}(P) = \sum_e \ell(e) \otimes [\theta(e)] \in \mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$,其中 $\ell(e)$ 和 $\theta(e)$ 分别是每条棱 $e$ 的长度与二面角。任何有限多面体剖分都保持 $\operatorname{Dehn}(P)$ 不变;立方体的二面角为 $\pi/2$,故 $\operatorname{Dehn} = 0$,而正四面体的 $\theta = \arccos(1/3)$ 不是 $\pi$ 的有理数倍,从而 $\operatorname{Dehn} \ne 0$。德恩的论文于1901年发表在《Mathematische Annalen》上。