Bài toán số tiếp xúc (kissing number)

Tính đến năm 2026, số tiếp xúc chính xác $k(n)$ mới chỉ được xác định ở sáu số chiều: $k(1) = 2$, $k(2) = 6$, $k(3) = 12$ (Schütte–van der Waerden, 1953), $k(4) = 24$ (Musin, 2003/2008), $k(8) = 240$ và $k(24) = 196,560$ (Odlyzko–Sloane và Levenshtein, 1979). Ngay ở chiều $5$, bài toán vẫn còn mở với $40 \le k(5) \le 44$ (trong đó $40$ đạt được bởi mạng nghiệm $D_5$), và ở chiều $6$ với $72 \le k(6) \le 77$ (trong đó $72$ đạt được bởi $E_6$). Khi $n \to \infty$, cận dưới tiệm cận tốt nhất là $k(n) \ge (1+o(1)) \frac{\sqrt{3\pi}}{4\sqrt{2}} \log(3/2) \cdot n^{3/2} (2/\sqrt{3})^n$ (Jenssen, Joos và Perkins, 2018), còn cận trên tiệm cận tốt nhất vẫn là cận Kabatiansky–Levenshtein năm 1978: $k(n) \le 2^{0.401414 n (1 + o(1))}$.