接吻数问题

截至2026年，接吻数 $k(n)$ 的精确值仅在六个维数中已知：$k(1) = 2$、$k(2) = 6$、$k(3) = 12$（许特–范德瓦尔登，1953）、$k(4) = 24$（穆辛，2003/2008）、$k(8) = 240$ 以及 $k(24) = 196,560$（奥德利兹科–斯隆与列文施泰因，1979）。早在 $5$ 维情形该问题便已悬而未决，目前已知 $40 \le k(5) \le 44$（其中 $40$ 由根格 $D_5$ 达到），而在 $6$ 维中为 $72 \le k(6) \le 77$（其中 $72$ 由 $E_6$ 达到）。当 $n \to \infty$ 时，最优渐近下界为 $k(n) \ge (1+o(1)) \frac{\sqrt{3\pi}}{4\sqrt{2}} \log(3/2) \cdot n^{3/2} (2/\sqrt{3})^n$（延森、约斯与帕金斯，2018），而最优渐近上界仍是1978年的卡巴江斯基–列文施泰因界 $k(n) \le 2^{0.401414 n (1 + o(1))}$。