Bất khả giải của phương trình bậc năm

Đã giải, 1824Đại số

Phát biểu

Không tồn tại công thức tổng quát — được xây dựng từ các hệ số của một phương trình đa thức bậc 5 (hay cao hơn) chỉ bằng phép cộng, trừ, nhân, chia và khai căn bậc $n$ — để biểu diễn nghiệm của nó, khác với các công thức đã có cho bậc 2, 3 và 4.

Paolo Ruffini công bố một chứng minh năm 1799 (mở rộng năm 1813) rằng không có công thức căn thức nào giải được phương trình bậc năm tổng quát, nhưng lập luận của ông có những lỗ hổng đáng kể. Chứng minh đầy đủ và chặt chẽ đầu tiên — định lý Abel–Ruffini — thuộc về Niels Henrik Abel, người tự bỏ tiền xuất bản năm 1824 và đưa ra phiên bản đầy đủ hơn trên tạp chí Crelle năm 1826. Vài năm sau, Évariste Galois đi xa hơn: ông gắn cho mỗi phương trình đa thức một nhóm các hoán vị nghiệm của nó (nhóm Galois) và chứng minh rằng phương trình giải được bằng căn thức khi và chỉ khi nhóm đó giải được. Điều này không chỉ giải thích vì sao không một công thức nào áp dụng được cho mọi phương trình bậc năm, mà còn cho biết chính xác phương trình cụ thể nào, ở bất kỳ bậc nào, giải được hoặc không giải được bằng căn thức.

Người giải, 1824Niels Henrik Abel Người giải, 1824Évariste Galois

Lý thuyết Galois cho thấy nhóm đối xứng $S_n$ (mọi hoán vị của $n$ nghiệm) giải được khi $n \le 4$ nhưng không giải được khi $n \ge 5$ , đó chính là lý do sâu xa khiến công thức nghiệm bị phá vỡ đúng từ bậc 5. Một số phương trình bậc năm đặc biệt — ví dụ $x^5-1=0$ hoặc các phương trình có nhóm Galois giải được — vẫn giải được bằng căn thức. Năm 1858, Charles Hermite chỉ ra rằng phương trình bậc năm tổng quát có thể giải được nếu cho phép dùng thêm hàm elliptic (hàm modular) bên cạnh căn thức, đưa ra một công thức đầy đủ nằm ngoài công cụ đại số thuần túy; hướng tư duy này tổng quát hóa để giải các phương trình bậc cao hơn bằng hàm siêu bội và hàm theta.

Tài liệu tham khảo

Niels Henrik Abel (1824). Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré · DOI:10.1017/cbo9781139245807.004
Évariste Galois (1846). Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux · DOI:10.4000/bibnum.616
Ian Stewart (2015). Galois Theory · DOI:10.1201/b18187

Lịch sử bài toán

1545Gerolamo Cardano công bố trong Ars Magna một công thức căn thức tổng quát cho phương trình bậc ba (theo phương pháp của Niccolò Tartaglia) và công thức căn thức của học trò ông, Lodovico Ferrari, cho phương trình bậc bốn, làm nảy sinh câu hỏi tự nhiên rằng liệu có công thức tương tự cho bậc năm hay không.
1770Joseph-Louis Lagrange phân tích vì sao các phương pháp giải phương trình bậc ba và bậc bốn không thể mở rộng cho bậc năm, nghiên cứu cách hoán vị các nghiệm ảnh hưởng tới các biểu thức phụ trợ — một cách tư duy sơ khai, mang tính nhóm, về các phương trình.Joseph-Louis Lagrange
1799Paolo Ruffini công bố một chứng minh (mở rộng năm 1813) rằng phương trình bậc năm tổng quát không thể giải được bằng căn thức, nhưng lập luận vẫn còn những lỗ hổng chưa được khép kín hoàn toàn.
1824Niels Henrik Abel công bố một chứng minh đầy đủ và chính xác rằng không tồn tại công thức căn thức tổng quát cho phương trình đa thức bậc 5 (hay cao hơn) — định lý Abel–Ruffini.Niels Henrik Abel
1831Évariste Galois nộp một bản luận văn (bị từ chối, sau đó xuất bản sau khi ông mất năm 1846) trình bày cái nay gọi là lý thuyết Galois, đưa ra một tiêu chuẩn — tính giải được của nhóm hoán vị nghiệm của phương trình — để xác định chính xác phương trình đa thức nào, ở bậc bất kỳ, giải được bằng căn thức.Évariste Galois