Bất khả giải của phương trình bậc năm
Không tồn tại công thức tổng quát — được xây dựng từ các hệ số của một phương trình đa thức bậc 5 (hay cao hơn) chỉ bằng phép cộng, trừ, nhân, chia và khai căn bậc — để biểu diễn nghiệm của nó, khác với các công thức đã có cho bậc 2, 3 và 4.
Paolo Ruffini công bố một chứng minh năm 1799 (mở rộng năm 1813) rằng không có công thức căn thức nào giải được phương trình bậc năm tổng quát, nhưng lập luận của ông có những lỗ hổng đáng kể. Chứng minh đầy đủ và chặt chẽ đầu tiên — định lý Abel–Ruffini — thuộc về Niels Henrik Abel, người tự bỏ tiền xuất bản năm 1824 và đưa ra phiên bản đầy đủ hơn trên tạp chí Crelle năm 1826. Vài năm sau, Évariste Galois đi xa hơn: ông gắn cho mỗi phương trình đa thức một nhóm các hoán vị nghiệm của nó (nhóm Galois) và chứng minh rằng phương trình giải được bằng căn thức khi và chỉ khi nhóm đó giải được. Điều này không chỉ giải thích vì sao không một công thức nào áp dụng được cho mọi phương trình bậc năm, mà còn cho biết chính xác phương trình cụ thể nào, ở bất kỳ bậc nào, giải được hoặc không giải được bằng căn thức.
Tài liệu tham khảo
- Niels Henrik Abel (1824). Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré · DOI:10.1017/cbo9781139245807.004
- Évariste Galois (1846). Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux · DOI:10.4000/bibnum.616
- Ian Stewart (2015). Galois Theory · DOI:10.1201/b18187