MathLabs

Cầu phương hình tròn

Đã giải, 1882Hình họcĐại số
Phát biểu

Chỉ dùng compa và thước thẳng không chia vạch, dựng trong hữu hạn bước một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn cho trước.

Cầu phương một hình tròn bán kính 1 bằng compa và thước thẳng đòi hỏi dựng được một đoạn thẳng có độ dài π\sqrt{\pi}, mà Pierre Wantzel đã chứng minh năm 1837 rằng mọi độ dài dựng được theo cách này đều là số đại số thu được qua một dãy phép khai căn bậc hai — nói riêng, có bậc đại số là một lũy thừa của 2. Ferdinand von Lindemann khép lại bài toán năm 1882 bằng cách chứng minh chính π\pi là số siêu việt (không phải nghiệm của bất kỳ đa thức khác không nào với hệ số hữu tỷ), phỏng theo phương pháp mà Charles Hermite đã dùng năm 1873 để chứng minh ee siêu việt. Vì π\pi siêu việt nên π\sqrt{\pi} cũng siêu việt, và không phép dựng hình bằng compa và thước thẳng nào tạo ra được nó.

Người giải, 1882Ferdinand von Lindemann

Cùng khung lý thuyết đại số của Wantzel đã giải quyết đồng thời hai bài toán cổ điển còn lại: gấp đôi khối lập phương (bất khả thi, vì 23\sqrt[3]{2} có bậc 3, không phải lũy thừa của 2) và chia ba một góc bất kỳ (nói chung bất khả thi, vì đòi hỏi giải một phương trình bậc ba). Cả ba bài toán trở nên khả thi nếu mở rộng công cụ — chẳng hạn dùng thước có đánh dấu (phép dựng neusis) hoặc cho phép gấp giấy origami (có thể giải phương trình bậc ba) — và các phép cầu phương gần đúng chính xác tới nhiều chữ số thập phân, như các phép dựng của Ramanujan, vẫn được ưa chuộng dù không phép dựng chính xác nào có thể tồn tại.

Tài liệu tham khảo

  1. Ferdinand von Lindemann (1882). Über die Zahl π
  2. Pierre Laurent Wantzel (1837). Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas
  3. Petr Beckmann (1971). A History of Pi