未解决问题，算术与数论，1849年提出

孪生素数猜想

未解决兰道 #2

存在无穷多个素数 $p$ ,使得 $p+2$ 也是素数。

研究前沿截至2026年

截至2026年,孪生素数猜想仍未解决。无条件记录是 $H_1 \le 246$ (Polymath8b,2014年),意味着相邻素数之间某个至多为246的偶数间隔会无穷次出现——但不一定是间隔2。在广义埃利奥特–哈尔伯斯塔姆猜想下,这一上界降为 $H_1 \le 12$ ,在更强的形式下降为 $H_1 \le 6$ ,但这些都不是无条件已知的结果。所有这些结果都依赖于筛法,而筛法面临“奇偶性问题”:仅凭筛法无法区分素因子个数为奇数与为偶数的数,这正是 $H_1=2$ 始终无法通过这一途径达到的原因。

已知最佳结果

无条件结果: $H_1 \le 246$ (Polymath8b,2014年),建立在张益唐(2013年, $70{,}000{,}000$ )与梅纳德–陶哲轩的多维筛法(2013年)之上。
在广义埃利奥特–哈尔伯斯塔姆猜想下的条件性结果: $H_1 \le 12$ ,在更强的变体下 $H_1 \le 6$ (Polymath8b,2014年)。
梅纳德–陶哲轩筛法还给出了对任意固定的 $m$ ,存在无穷多个由 $m$ 个素数组成的有界簇,而不仅仅是素数对。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
GPY / 梅纳德–陶哲轩多维筛法	对无穷次出现的最小间隔给出一个无条件的、明确的有限上界,目前为 $246$ 。	受筛法理论中奇偶性问题的阻碍,在没有新结构性输入的情况下无法达到间隔 $2$ 。
素数分布猜想(埃利奥特–哈尔伯斯塔姆及其推广)	若假设成立,可将条件性上界降到 $12$ ,在更强形式下降到 $6$ 。	这些猜想本身尚未被证明,因此这些上界只是条件性的,并非通向无条件证明的真正进展。
协作优化(Polymath 项目)	通过压缩筛法权重与参数,在张益唐论文发表约一年内,将无条件上界从数千降到 $246$ 。	在同一方法内优化常数本身无法弥合从 $246$ 到精确值 $2$ 之间的差距。

尚未解决的问题

是否存在打破目前阻碍无条件上界降到约 $246$ 以下的筛法奇偶性问题的方法?
证明埃利奥特–哈尔伯斯塔姆猜想是否真的足以达到间隔 $2$ ,还是只能接近(例如 $6$ )?

证明

梅纳德的多维筛法:素数之间的有界间隔(2013年)James Maynard, 2013难度 5/5研究精简版

参考文献

Yitang Zhang (2014). Bounded gaps between primes
James Maynard (2015). Small gaps between primes · DOI:10.4007/annals.2015.181.1.7
D.H.J. Polymath (2014). Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes · DOI:10.1186/s40687-014-0012-7 · arXiv:1407.4897