解法：梅纳德的多维筛法:素数之间的有界间隔(2013年)

梅纳德2013年的论文《Small gaps between primes》(arXiv:1311.4600,发表于《数学年刊》2015年)从可容许集合的概念讲起:非负整数的有限集合 $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$ 是可容许的,如果对每个素数 $p$,都存在某个剩余类 $a_p$ 被每一次平移错过,即对所有 $i$ 都有 $a_p\not\equiv h_i \pmod{p}$(梅纳德2013年,第1节)。素数 $k$ 元组猜想预测:对每个可容许的 $\mathcal{H}$,都有无穷多个 $n$ 使得 $n+h_1,\dots,n+h_k$ 同时为素数;当 $k>1$ 时这仍完全是个未解问题。

Goldston、Pintz 与 Yıldırım(GPY)于2005年证明,一个筛法意义下的和式可以控制这个问题,他们无条件证明了 $\liminf_n (p_{n+1}-p_n)/\log p_n=0$:无穷多次,间隔相对于平均间隔 $\log p_n$ 趋于零,但并非真正有界。张益唐的突破利用新的估计,跨越了 GPY 方法中一个关于素数在等差数列中分布均匀程度的技术障碍,得到了第一个真正有界的间隔(梅纳德2013年,第1节,式1.2)。

梅纳德的论文走了一条不同的路:它不去追赶张益唐那个困难的新估计,而是改进筛法本身,使得更古老、经典的 Bombieri–Vinogradov 定理就已足够——并且给出了好得多的界。接下来的步骤将逐一走过这一改进,最终仅凭经典输入就得到 $\liminf_n(p_{n+1}-p_n)\le 600$(梅纳德2013年,定理1.3)。