Bài toán Whitehead

Độc lập với tiên đềNền tảng toán họcĐại số

Phát biểu

Một nhóm giao hoán $A$ được gọi là nhóm Whitehead nếu $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(A, \mathbb{Z}) = 0$ , nghĩa là mọi dãy khớp ngắn $0 \to \mathbb{Z} \to B \to A \to 0$ các nhóm giao hoán đều chẻ. Hỏi mọi nhóm Whitehead $A$ có bắt buộc phải là một nhóm giao hoán tự do hay không?

Saharon Shelah chứng minh năm 1974 rằng bài toán Whitehead không thể quyết định được trong ZFC: nếu giả sử $V = L$ thì mọi nhóm Whitehead đều tự do, trong khi nếu giả sử Tiên đề Martin và $2^{\aleph_0} > \aleph_1$ thì tồn tại nhóm Whitehead không tự do có lực lượng $\aleph_1$ .

Hệ tiên đề ZFC

Tài liệu tham khảo

Saharon Shelah (1974). Infinite Abelian groups, Whitehead problem and some constructions · DOI:10.1007/BF02757281
Saharon Shelah (1977). Whitehead groups may be not free, even assuming CH. I · DOI:10.1007/BF02760647
Paul C. Eklof, Alan H. Mekler (2002). Almost Free Modules: Set-Theoretic Methods

Lịch sử bài toán

1950J. H. C. Whitehead đặt câu hỏi liệu $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(A, \mathbb{Z}) = 0$ có buộc nhóm giao hoán $A$ phải tự do hay không, xuất phát từ định lý hệ số phổ dụng trong tô pô đại số.
1951Karl Stein chứng minh mọi nhóm Whitehead đếm được đều tự do, đồng thời thiết lập tiêu chuẩn đi kèm rằng mọi nhóm con đếm được của một nhóm Whitehead bất kỳ đều tự do (tức là nhóm đó $\aleph_1$ -tự do).
1974Saharon Shelah chứng minh bài toán Whitehead cho các nhóm lực lượng $\aleph_1$ độc lập với ZFC, đồng thời đưa ra định lý compắc kỳ dị để mở rộng chứng minh tính tự do dưới $V = L$ sang lực lượng bất kỳ.
1977Saharon Shelah chứng minh rằng ngay cả khi giả sử Giả thuyết Continuum tổng quát (GCH), sự tồn tại của nhóm Whitehead không tự do vẫn độc lập với ZFC.