Định lýĐã chứng minh

Định lý Bayes

Phát biểu

Với mọi biến cố $A$ và $B$ thỏa mãn $\mathbb{P}(A) > 0$ và $\mathbb{P}(B) > 0$ , ta có $\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(B \mid A)\,\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$ . Tổng quát hơn, nếu $A_1, \dots, A_k$ tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu với $\mathbb{P}(A_i) > 0$ và $\mathbb{P}(B) > 0$ , thì với mỗi $j$ , $\mathbb{P}(A_j \mid B) = \frac{\mathbb{P}(B \mid A_j)\,\mathbb{P}(A_j)}{\sum_{i=1}^k \mathbb{P}(B \mid A_i)\,\mathbb{P}(A_i)}$ .

Vì sao đúng?

Định lý Bayes là quy tắc toán học để đảo chiều xác suất có điều kiện: nó cho biết cách cập nhật niềm tin tiên nghiệm $\mathbb{P}(A)$ về một nguyên nhân ẩn $A$ thành niềm tin hậu nghiệm $\mathbb{P}(A \mid B)$ sau khi quan sát bằng chứng $B$ , bằng cách nhân trọng số tiên nghiệm với mức độ mà $A$ có khả năng sinh ra $B$ .

Phác thảo chứng minh

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, $\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$ khi $\mathbb{P}(B) > 0$ , và đối xứng ta có $\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$ khi $\mathbb{P}(A) > 0$ . Cho hai biểu thức của $\mathbb{P}(A \cap B)$ bằng nhau ta được $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B \mid A)\,\mathbb{P}(A)$ , rồi chia cho $\mathbb{P}(B)$ sẽ thu được $\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(B \mid A)\,\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$ . Nếu $A_1, \dots, A_k$ phân hoạch không gian mẫu, công thức xác suất đầy đủ khai triển mẫu số thành $\mathbb{P}(B) = \sum_{i=1}^k \mathbb{P}(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^k \mathbb{P}(B \mid A_i)\,\mathbb{P}(A_i)$ .

Người chứng minh

chứng minh năm 1763Pierre-Simon Laplace

Chủ đề chứa định lý này

Xác suất có điều kiện, Bayes

Định lý liên quan

Hệ tiên đề xác suất Kolmogorov

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Thomas Bayes, Richard Price (1763). An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances · DOI:10.1098/rstl.1763.0053
Pierre-Simon Laplace (1812). Théorie analytique des probabilités