Định nghĩaĐã chứng minh

Hệ tiên đề xác suất Kolmogorov

Phát biểu

Một không gian xác suất là một bộ ba $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ gồm không gian mẫu $\Omega$ , một $\sigma$ -đại số $\mathcal{F}$ các tập con của $\Omega$ (gọi là các biến cố), và một hàm $\mathbb{P} : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn ba tiên đề: (1) tính không âm: $\mathbb{P}(A) \ge 0$ với mọi $A \in \mathcal{F}$ ; (2) tính chuẩn hóa: $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ ; và (3) tính cộng tính đếm được: với mọi dãy $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{F}$ gồm các biến cố xung khắc từng đôi ( $A_i \cap A_j = \varnothing$ khi $i \ne j$ ), $\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i)$ .

Vì sao đúng?

Hệ tiên đề Kolmogorov xem xác suất giống như khối lượng hoặc diện tích phân bố trên không gian các kết quả có thể $\Omega$ : mỗi biến cố có trọng lượng không âm, tổng trọng lượng của mọi khả năng bằng $1$ , và trọng lượng của hợp các phần không chồng lấp — kể cả đếm được vô hạn phần — đơn giản là tổng trọng lượng của từng phần.

Phác thảo chứng minh

Từ ba tiên đề này, mọi quy tắc chuẩn của xác suất đều suy ra trực tiếp: chọn $A_1 = \Omega$ và $A_i = \varnothing$ với $i \ge 2$ cho $1 = \mathbb{P}(\Omega) = \mathbb{P}(\Omega) + \sum_{i=2}^{\infty} \mathbb{P}(\varnothing)$ , do đó $\mathbb{P}(\varnothing) = 0$ . Tính cộng tính hữu hạn suy ra bằng cách đặt $A_i = \varnothing$ với $i > n$ . Vì $A$ và $A^c$ xung khắc với $A \cup A^c = \Omega$ , ta thu được $\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A)$ , tính đơn điệu $\mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)$ khi $A \subseteq B$ , cùng tính liên tục của xác suất dọc theo các dãy biến cố đơn điệu nhờ tính cộng tính đếm được.

Người phát biểu

nêu năm 1933Andrey Kolmogorov

Người chứng minh

chứng minh năm 1933Andrey Kolmogorov

Chủ đề chứa định lý này

Biến cố và xác suất

Định lý liên quan

Định lý Bayes Bất đẳng thức Chebyshev Luật số lớn yếu Luật số lớn mạnh

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Andrey Kolmogorov (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Andrey Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability