定义已证明

柯尔莫哥洛夫概率公理

命题陈述

概率空间是一个三元组 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ，由样本空间 $\Omega$ 、由 $\Omega$ 的子集构成的 $\sigma$ -代数 $\mathcal{F}$ （其元素称为事件）以及满足以下三条公理的函数 $\mathbb{P} : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ 组成：(1) 非负性：对每个 $A \in \mathcal{F}$ ，有 $\mathbb{P}(A) \ge 0$ ；(2) 规范性： $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ ；(3) 可列可加性：对任意一列两两互不相交的事件 $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{F}$ （当 $i \ne j$ 时 $A_i \cap A_j = \varnothing$ ），有 $\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i)$ 。

为什么成立?

柯尔莫哥洛夫公理将概率视作分布在所有可能结果空间 $\Omega$ 上的质量或面积：每个事件都具有非负的权重，全部可能性的总权重为 $1$ ，而互不重叠的若干部分（哪怕有可数无穷多个）合并后的权重就等于各部分权重之和。

证明思路

由这三条公理可立即推出概率论的所有标准法则：取 $A_1 = \Omega$ 且当 $i \ge 2$ 时取 $A_i = \varnothing$ ，得 $1 = \mathbb{P}(\Omega) = \mathbb{P}(\Omega) + \sum_{i=2}^{\infty} \mathbb{P}(\varnothing)$ ，从而 $\mathbb{P}(\varnothing) = 0$ 。令 $i > n$ 时 $A_i = \varnothing$ 即得有限可加性。由于 $A$ 与 $A^c$ 互不相交且 $A \cup A^c = \Omega$ ，可得 $\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A)$ 、当 $A \subseteq B$ 时的单调性 $\mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)$ ，以及由可列可加性导出的概率对单调事件序列的连续性。

提出者

1933 年提出安德烈·柯尔莫哥洛夫

证明者

1933 年证明安德烈·柯尔莫哥洛夫

用到此定理的主题

事件与概率

参考文献

Andrey Kolmogorov (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Andrey Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability