Định lýĐã chứng minh

Định lý ergodic Birkhoff

Phát biểu

Cho $(X,\mathcal{B},\mu,T)$ là một hệ bảo toàn độ đo với $\mu$ là độ đo xác suất, và $f \in L^1(\mu)$ . Khi đó các trung bình thời gian $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(T^k x)$ hội tụ hầu khắp nơi theo $\mu$ tới một hàm bất biến qua $T$ , gọi là $f^*$ , với $\int f^* \,d\mu = \int f\,d\mu$ ; nếu $T$ ergodic thì $f^* = \int f\,d\mu$ hầu khắp nơi.

Vì sao đúng?

Theo dõi một quỹ đạo duy nhất trong thời gian rất dài và lấy trung bình những gì thấy được trên đường đi, gần như luôn cho cùng một kết quả với việc lấy trung bình trên toàn không gian tại một thời điểm — miễn là hệ không tách thành các mảnh mà quỹ đạo không thể trộn lẫn giữa chúng. Thời gian trải qua bằng không gian được khám phá, tính trung bình, một khi hệ là ergodic.

Phác thảo chứng minh

Chứng minh chuẩn dùng định lý ergodic cực đại: với $f \in L^1$ và $Mf = \sup_{n \ge 1} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^k$ , ta chứng minh $\int_{\{Mf > 0\}} f\, d\mu \ge 0$ bằng một lập luận kiểu telescoping/hàm cực đại. Áp dụng điều này cho $f - a$ và $b - f$ với các số hữu tỉ $a > b$ trên tập bất biến qua $T$ nơi $\limsup$ của trung bình thời gian lớn hơn $a$ và $\liminf$ nhỏ hơn $b$ cho thấy tập này có độ đo không, buộc sự hội tụ hầu khắp nơi tới một hàm giới hạn $f^*$ ; tính bất biến của $f^*$ suy ra vì dịch chuyển qua $T$ không làm thay đổi trung bình thời gian ở giới hạn, và đẳng thức tích phân suy ra từ định lý hội tụ trội áp dụng dọc theo một lập luận cắt cụt.

Chủ đề chứa định lý này

Lý thuyết ergodic

Định lý liên quan

Luật số lớn mạnh

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Peter Walters (1982). An Introduction to Ergodic Theory