Luật số lớn mạnh

Không mất tính tổng quát, giả sử $\mu = 0$. Cắt cụt bằng cách đặt $Y_n = X_n \mathbf{1}_{\{|X_n| \le n\}}$. Vì $\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(|X_n| > n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(|X_1| > n) \le \mathbb{E}[|X_1|] < \infty$, bổ đề Borel–Cantelli suy ra $\mathbb{P}(X_n \ne Y_n \text{ i.o.}) = 0$. Định lý Fubini cho $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{Var}(Y_n)}{n^2} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathbb{E}[Y_n^2]}{n^2} \le 2\mathbb{E}[|X_1|] < \infty$. Theo tiêu chuẩn hội tụ Kolmogorov (suy ra từ bất đẳng thức cực đại Kolmogorov), chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{Y_n - \mathbb{E}[Y_n]}{n}$ hội tụ hầu chắc chắn. Bổ đề Kronecker khi đó cho $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i - \mathbb{E}[Y_i]) \to 0$ hầu chắc chắn, và vì $\mathbb{E}[Y_n] \to \mu = 0$, suy ra $\bar{X}_n \to 0$ hầu chắc chắn.