实数不可数性(康托尔对角线论证)

反证法:假设 $x_1,x_2,\dots$ 通过十进制展开列出了 $(0,1)$ 中所有实数;定义 $y=0.y_1y_2y_3\dots$,取 $y_n$ 在第 $n$ 位与 $x_n$ 不同(例如取 $y_n=5$,如果该位不是 $5$,否则取 $y_n=6$,以避免 $\dots999\dots=\dots000\dots$ 的歧义);于是 $y\in(0,1)$,但 $y\neq x_n$ 对每个 $n$ 都成立(第 $n$ 位不同),与列表完整的假设矛盾。