Định lýĐã chứng minh

Tính không đếm được của tập số thực (phương pháp đường chéo Cantor)

Phát biểu

Tập số thực là không đếm được: không tồn tại song ánh giữa $\mathbb{N}$ và $\mathbb{R}$ — thậm chí không tồn tại song ánh giữa $\mathbb{N}$ và khoảng $(0,1)$ .

Vì sao đúng?

Nếu cố liệt kê mọi số thực trong $(0,1)$ thành một dãy vô hạn $x_1,x_2,x_3,\dots$ , ta luôn dựng được một số mới khác với số thứ $n$ trong danh sách ở đúng chữ số thập phân thứ $n$ — vậy số mới này không bao giờ nằm trong danh sách, nên không danh sách nào có thể đầy đủ.

Phác thảo chứng minh

Giả sử phản chứng rằng $x_1,x_2,\dots$ liệt kê hết mọi số thực trong $(0,1)$ qua khai triển thập phân; định nghĩa $y=0.y_1y_2y_3\dots$ bằng cách chọn $y_n$ khác chữ số thứ $n$ của $x_n$ (ví dụ $y_n=5$ nếu chữ số đó không phải $5$ , ngược lại $y_n=6$ , để tránh trường hợp mập mờ $\dots999\dots=\dots000\dots$ ); khi đó $y\in(0,1)$ nhưng $y\neq x_n$ với mọi $n$ (khác nhau ở chữ số thứ $n$ ), mâu thuẫn với giả thiết danh sách đã đầy đủ.

Người chứng minh

chứng minh năm 1891Georg Cantor

Chủ đề chứa định lý này

Ánh xạ và lực lượng

Định lý liên quan

Định lý Cantor–Schröder–Bernstein

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Georg Cantor (1891). Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre
Paul R. Halmos (1974). Naive Set Theory