Định lýĐã chứng minh

Định lý Cantor–Schröder–Bernstein

Phát biểu

Nếu tồn tại đơn ánh $f:A\to B$ và đơn ánh $g:B\to A$ giữa hai tập $A$ và $B$ , thì tồn tại song ánh $h:A\to B$ . Nói cách khác: $|A|\le|B|$ và $|B|\le|A|$ cùng đúng thì $|A|=|B|$ .

Vì sao đúng?

Chỉ cần mỗi tập chứa được một bản sao đơn ánh của tập kia là đủ để đảm bảo chúng thực sự có cùng lực lượng — không cần chỉ ra trực tiếp một song ánh, chỉ cần hai phép nhúng một chiều khớp với nhau.

Phác thảo chứng minh

Với mỗi phần tử của $A$ , lần ngược lại bằng cách áp dụng luân phiên $g^{-1}$ và $f^{-1}$ khi xác định được; mỗi đường lần ngược hoặc dừng ở $A\setminus g(B)$ , hoặc dừng ở $g(B\setminus f(A))$ , hoặc kéo dài mãi mãi. Định nghĩa $h=f$ trên các phần tử mà đường lần ngược dừng ở $A$ hoặc không bao giờ dừng, và $h=g^{-1}$ trên các phần tử mà đường lần ngược dừng ở $B$ ; kiểm tra từng trường hợp cho thấy $h$ được xác định tốt và là song ánh $A\to B$ .

Người phát biểu

nêu năm 1887Georg Cantor

Chủ đề chứa định lý này

Ánh xạ và lực lượng

Định lý liên quan

Tính không đếm được của tập số thực (phương pháp đường chéo Cantor)

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Kenneth Kunen (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs
Paul R. Halmos (1974). Naive Set Theory