Công thứcĐã chứng minh

Công thức d'Alembert cho phương trình sóng

Phát biểu

Với phương trình sóng $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ trên $\mathbb{R} \times (0,\infty)$ có dữ kiện đầu $u(x,0)=\varphi(x)$ , $u_t(x,0)=\psi(x)$ , nghiệm duy nhất là $u(x,t) = \tfrac{1}{2}\big(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big) + \tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$ .

Vì sao đúng?

Một sóng trên dây vô hạn chỉ đơn giản là hai bản sao của hình dạng ban đầu, một trượt sang trái và một trượt sang phải với tốc độ $c$ , cộng thêm một số hạng hiệu chỉnh ứng với vận tốc ban đầu. Bất cứ điều gì xảy ra tại điểm $(x,t)$ chỉ có thể phụ thuộc vào dữ kiện đầu trên khoảng $[x-ct, x+ct]$ — thông tin không thể truyền nhanh hơn $c$ .

Phác thảo chứng minh

Đổi biến sang tọa độ đặc trưng $\xi = x - ct$ , $\eta = x + ct$ ; phương trình sóng trở thành $u_{\xi\eta} = 0$ , nên $u = F(\xi) + G(\eta)$ với các hàm $F, G$ nào đó. Áp đặt điều kiện đầu $u(x,0)=\varphi(x)$ và $u_t(x,0)=\psi(x)$ để giải $F$ và $G$ theo $\varphi$ và một nguyên hàm của $\psi$ , rồi thay ngược lại.

Chủ đề chứa định lý này

Phương trình sóng

Định lý liên quan

Định lý cơ bản của giải tích

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations · DOI:10.1090/gsm/019