拉格朗日配方法化为平方和

我们对变量个数 $n$ 用归纳法证明;$n=1$ 时已经是单项 $a_{11}x_1^2$。

当 $n > 1$ 时,若整个二次型为零则无需证明。否则,先设某个对角系数非零;重新编号变量后可设 $a_{11} \neq 0$。把所有含 $x_1$ 的项归并起来,得到 $a_{11}x_1^2 + 2x_1(a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n)$ 加上一个仅含 $x_2,\dots,x_n$ 的二次型。

令 $y_1 = x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2 + \cdots + \frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n$,并对 $k \ge 2$ 令 $y_k = x_k$,这是一个可逆线性变量代换,且 $a_{11}y_1^2$ 与所有含 $x_1$ 的项完全匹配,只差一个仅依赖于 $y_2,\dots,y_n$ 的余项;因此 $Q = a_{11}y_1^2 + Q'(y_2,\dots,y_n)$。

反之,若所有对角元皆为零(对所有 $i$ 有 $a_{ii}=0$),则取一个非零交叉项 $2a_{12}x_1 x_2$,其中 $a_{12} \neq 0$。可逆代换 $x_1 = u_1 + u_2$, $x_2 = u_1 - u_2$ 把 $2a_{12}x_1 x_2$ 变成 $2a_{12}(u_1^2 - u_2^2)$,从而产生非零对角系数,归结为前一种情形。对 $Q'(y_2,\dots,y_n)$ 应用归纳假设即完成对角化。