Thuật toán Lagrange đưa về tổng bình phương

Ta chứng minh bằng quy nạp theo số biến $n$; trường hợp $n=1$ đã là một số hạng duy nhất $a_{11}x_1^2$.

Với $n > 1$, nếu toàn bộ dạng bằng không thì không cần làm gì. Ngược lại, trước hết giả sử có một hệ số đường chéo khác không; sau khi đánh số lại các biến ta có thể giả sử $a_{11} \neq 0$. Gom mọi số hạng chứa $x_1$ lại cho $a_{11}x_1^2 + 2x_1(a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n)$ cộng với một dạng toàn phương chỉ phụ thuộc $x_2,\dots,x_n$.

Đặt $y_1 = x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2 + \cdots + \frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n$ và $y_k = x_k$ với $k \ge 2$ là một phép đổi biến tuyến tính khả nghịch, và $a_{11}y_1^2$ khớp hết mọi số hạng chứa $x_1$ sai khác một phần dư chỉ phụ thuộc $y_2,\dots,y_n$; do đó $Q = a_{11}y_1^2 + Q'(y_2,\dots,y_n)$.

Nếu ngược lại mọi phần tử đường chéo đều bằng không ($a_{ii}=0$ với mọi $i$), chọn một số hạng chéo khác không $2a_{12}x_1 x_2$ với $a_{12} \neq 0$. Phép thế khả nghịch $x_1 = u_1 + u_2$, $x_2 = u_1 - u_2$ biến $2a_{12}x_1 x_2$ thành $2a_{12}(u_1^2 - u_2^2)$, tạo ra hệ số đường chéo khác không và đưa về trường hợp trước. Áp dụng giả thiết quy nạp cho $Q'(y_2,\dots,y_n)$ hoàn tất việc chéo hóa.