双线性型与二次型

对角化二次型甚至不需要特征值:把中学熟悉的配方法逐个变量依次应用,就能把所有交叉项 $x_i x_j$ 全部吸收到平方项中。

我们对变量个数 $n$ 用归纳法证明;$n=1$ 时已经是单项 $a_{11}x_1^2$。

当 $n > 1$ 时,若整个二次型为零则无需证明。否则,先设某个对角系数非零;重新编号变量后可设 $a_{11} \neq 0$。把所有含 $x_1$ 的项归并起来,得到 $a_{11}x_1^2 + 2x_1(a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n)$ 加上一个仅含 $x_2,\dots,x_n$ 的二次型。

令 $y_1 = x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2 + \cdots + \frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n$,并对 $k \ge 2$ 令 $y_k = x_k$,这是一个可逆线性变量代换,且 $a_{11}y_1^2$ 与所有含 $x_1$ 的项完全匹配,只差一个仅依赖于 $y_2,\dots,y_n$ 的余项;因此 $Q = a_{11}y_1^2 + Q'(y_2,\dots,y_n)$。

反之,若所有对角元皆为零(对所有 $i$ 有 $a_{ii}=0$),则取一个非零交叉项 $2a_{12}x_1 x_2$,其中 $a_{12} \neq 0$。可逆代换 $x_1 = u_1 + u_2$, $x_2 = u_1 - u_2$ 把 $2a_{12}x_1 x_2$ 变成 $2a_{12}(u_1^2 - u_2^2)$,从而产生非零对角系数,归结为前一种情形。对 $Q'(y_2,\dots,y_n)$ 应用归纳假设即完成对角化。

切换到新坐标系可以拉伸坐标轴并改变对角系数 $d_i$ 各自的大小,但绝不可能在不经过平坦方向的情况下把向上弯曲的方向变成向下弯曲的方向——因此向上、向下与平坦坐标轴的数目被永久锁定。

设 $Q$ 在两组基 $\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}$ 与 $\{\mathbf{f}_1,\dots,\mathbf{f}_n\}$ 下被对角化,正、负、零系数的个数在第一组基下为 $(n_+, n_-, n_0)$,在第二组基下为 $(p_+, p_-, p_0)$。对每组基排序,使正系数在前,负系数居中,零系数在后。

反设 $n_+ > p_+$。令 $V_+ = \mathrm{span}(\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_{n_+})$,这是一个 $n_+$ 维子空间,对任意非零 $\mathbf{x} \in V_+$ 都有 $Q(\mathbf{x}) > 0$(因为在 $V_+$ 上只有 $\mathbf{e}$ 展开中的正平方项起作用)。

类似地,令 $W_- = \mathrm{span}(\mathbf{f}_{p_+ + 1},\dots,\mathbf{f}_n)$,这是一个 $n - p_+$ 维子空间,对任意 $\mathbf{x} \in W_-$ 都有 $Q(\mathbf{x}) \le 0$(因为在 $W_-$ 上只有 $\mathbf{f}$ 展开中的负平方项和零项起作用)。

现在在 $\mathbb{R}^n$ 中计算维数:由于 $n_+ > p_+$,有 $\dim V_+ + \dim W_- = n_+ + (n - p_+) > n$。由子空间维数公式,维数之和大于 $n$ 的两个子空间不可能只有平凡交;因此存在非零向量 $\mathbf{v} \in V_+ \cap W_-$。

由于 $\mathbf{v} \in V_+$ 且 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$,必有 $Q(\mathbf{v}) > 0$;又因 $\mathbf{v} \in W_-$,同时必有 $Q(\mathbf{v}) \le 0$,直接矛盾。因此 $n_+ \le p_+$,由两组基的对称性又有 $p_+ \le n_+$,故 $n_+ = p_+$。对 $-Q$ 应用完全相同的论证得 $n_- = p_-$,最后 $n_0 = n - n_+ - n_- = p_0$。