Dấu biệt thức quyết định số nghiệm

Mọi bước của chứng minh này dùng lại đẳng thức $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ đã lập ở định lý trước, đúng với mọi số thực $a,b,c$ thoả $a\neq0$ bất kể dấu của $\Delta$ — chỉ bước khai căn cuối cùng mới cần $\Delta\ge0$.

**Trường hợp $\Delta>0$.** Vế phải $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ là số dương (tử dương trên mẫu dương $4a^2$), nên có hai căn bậc hai phân biệt, $+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ và $-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$, khác nhau vì $\sqrt{\Delta}\neq0$. Mỗi căn cho một giá trị khác nhau của $x+\dfrac{b}{2a}$, do đó một giá trị khác nhau của $x$: đúng hai nghiệm thực phân biệt.

**Trường hợp $\Delta=0$.** Vế phải trở thành $0$, và số thực duy nhất có bình phương bằng $0$ chính là $0$ — không còn mơ hồ "$\pm$" nữa. Vậy $x+\dfrac{b}{2a}=0$, cho nghiệm duy nhất $x=-\dfrac{b}{2a}$. Điều này khớp với phân tích trực tiếp vế trái thành $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$, một bình phương hoàn hảo chạm 0 đúng một lần.

**Trường hợp $\Delta<0$.** Vế phải $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ giờ âm. Nhưng vế trái $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ là bình phương của một số thực, và bình phương của bất kỳ số thực nào luôn $\ge0$ — không bao giờ bằng một số âm. Vậy không số thực $x$ nào thoả $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ trong trường hợp này, nghĩa là phương trình gốc hoàn toàn vô nghiệm thực.