一元二次方程

因式分解只有在遇到“漂亮”的数时才凑效;配方法能把任何一元二次方程都变成“完全平方等于某个数”的形式,再用开平方“还原”回去——这样就得到一个无需猜测、能解所有一元二次方程的通用公式。

第一步（标准化）： 因为 $a\neq0$,把 $ax^2+bx+c=0$ 每一项都除以 $a$,得到 $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$,这是一个首项系数为 $1$ 的等价方程。

第二步（配方）： 前两项 $x^2+\dfrac{b}{a}x$ 正是完全平方式 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}$ 的开头。在 $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ 中加上再减去 $\dfrac{b^2}{4a^2}$,可将其改写为 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$。

第三步（分离平方项）： 把常数项移到右边,并通分为公分母 $4a^2$:$-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{-b^2+4ac}{4a^2}=-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=-\dfrac{\Delta}{4a^2}$。由此得到 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$。

第四步（两边开平方）： 当 $\Delta\ge0$ 时,右边是非负实数,两边都有实数平方根:$x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$（$\pm$ 已经涵盖了两种符号,无论 $a$ 本身的符号如何）。

第五步（分离x）： 两边同减 $\dfrac{b}{2a}$:$x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$,这正是 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$。所用的每一步代数运算(除以非零的 $a$、两边同加减同一个量、对相等的非负数开平方)都是可逆的,所以只要 $\Delta\ge0$,这个公式就既是必要的也是充分的。

这把“抛物线与x轴相交几次”这个关于图像的问题,变成了“检查一个数的符号”这个不用画图就能回答的问题。

这个证明的每一步都重复使用前一个定理中建立的恒等式 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$,该恒等式对满足 $a\neq0$ 的任意实数 $a,b,c$ 都成立,与 $\Delta$ 的符号无关——只有最后开平方那一步才依赖于 $\Delta\ge0$。

**情形 $\Delta>0$。** 右边 $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ 是正数(正的分子除以正的分母 $4a^2$),因此有两个不同的平方根 $+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$,由于 $\sqrt{\Delta}\neq0$ 它们互不相同。每个都给出 $x+\dfrac{b}{2a}$ 的一个不同取值,从而给出 $x$ 的一个不同取值:恰好两个不同的实数根。

**情形 $\Delta=0$。** 右边变为 $0$,而平方等于 $0$ 的实数只有 $0$ 本身——不再有“$\pm$”的歧义。于是 $x+\dfrac{b}{2a}=0$,给出唯一的根 $x=-\dfrac{b}{2a}$。这与直接把左边因式分解为 $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$(恰好在零点相切的完全平方)相吻合。

**情形 $\Delta<0$。** 右边 $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ 此时为负。但左边 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ 是一个实数的平方,而任意实数的平方总是 $\ge0$——它永远不可能等于一个负数。所以在这种情形下,没有任何实数 $x$ 能满足 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$,即原方程完全没有实数解。