Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng

Tính độ tăng và độ chạy giữa hai điểm trên đồ thị: độ tăng $=y_2-y_1=(ax_2+b)-(ax_1+b)=a(x_2-x_1)$, dùng việc cả hai điểm đều thỏa cùng quy tắc $y=ax+b$.

Vì $x_1\ne x_2$, ta có thể chia cả hai vế cho độ chạy $x_2-x_1\ne 0$: $$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a.$$

Phép tính này chỉ dùng các giá trị $x_1,x_2$ và quy tắc $y=ax+b$, và số hạng $b$ triệt tiêu hoàn toàn — nên tỷ số bằng $a$ bất kể hai điểm $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ nào được chọn. Một đường cong mà hệ số góc giữa mọi cặp điểm là cùng một số cố định, theo định nghĩa hình học của tính thẳng, là một đường thẳng; do đó đồ thị của $y=ax+b$ là một đường thẳng có hệ số góc $a$.

Ngược lại, cho một đường thẳng không đứng bất kỳ với hệ số góc $a$ đi qua điểm $(x_0,y_0)$, đặt $b=y_0-ax_0$ tạo ra một hàm số bậc nhất $y=ax+b$ mà đồ thị chính là đường thẳng đó, thiết lập chiều ngược lại của sự tương ứng giữa hàm số bậc nhất và đường thẳng không đứng.