一次函数的图象是一条直线

计算图象上两点之间的升与跑:升 $=y_2-y_1=(ax_2+b)-(ax_1+b)=a(x_2-x_1)$,这里用到两点都满足同一规则 $y=ax+b$。

由于 $x_1\ne x_2$,可以两边同除以跑 $x_2-x_1\ne 0$:$$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a.$$

此计算只用到了 $x_1,x_2$ 的值和规则 $y=ax+b$,而 $b$ 项完全抵消——所以无论选取哪两个点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,该比值都等于 $a$。一条曲线若在任意两点间的斜率都是同一个固定数,按直线性的几何定义,它就是一条直线;因此 $y=ax+b$ 的图象是斜率为 $a$ 的直线。

反过来,给定任意一条过点 $(x_0,y_0)$、斜率为 $a$ 的非竖直直线,令 $b=y_0-ax_0$,就得到一个一次函数 $y=ax+b$,其图象恰好就是该直线,这就建立了一次函数与非竖直直线之间对应关系的反方向。