函数及其图象

函数为每个输入恰好指定一个输出,所以如果图象与给定的竖直线相交两次,就会为同一个 $x$ 指定两个不同的 $y$ 值,破坏"恰好一个输出"的规则。

($\Rightarrow$) 设 $C$ 是某函数 $f$ 的图象,则 $C$ 上每个点对某个输入 $x_0$ 都形如 $(x_0,f(x_0))$。任取一条竖直线 $x=x_0$;$C$ 上可能落在其上的点只能是横坐标为 $x_0$ 的点,而且这样的点只有一个,即 $(x_0,f(x_0))$,因为 $f$ 只为 $x_0$ 指定一个值。所以该直线与 $C$ 至多相交一点。

($\Leftarrow$) 反过来,假设每条竖直线与 $C$ 至多相交一点。定义 $f$ 如下:对每个在其上方有 $C$ 上的点的 $x_0$,令 $f(x_0)$ 为该(由假设唯一确定的)点的 $y$ 坐标。这样每个输入至多对应一个输出,所以 $f$ 是良定义的函数,并且按构造其图象恰好是 $C$。

两个方向合在一起说明了等价性:作为函数的图象与通过竖线检验,是从两个角度看到的同一性质。

每一对点之间斜率恒定,正是"直线"的几何定义——方向永不弯折。

计算图象上两点之间的升与跑:升 $=y_2-y_1=(ax_2+b)-(ax_1+b)=a(x_2-x_1)$,这里用到两点都满足同一规则 $y=ax+b$。

由于 $x_1\ne x_2$,可以两边同除以跑 $x_2-x_1\ne 0$:$$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a.$$

此计算只用到了 $x_1,x_2$ 的值和规则 $y=ax+b$,而 $b$ 项完全抵消——所以无论选取哪两个点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,该比值都等于 $a$。一条曲线若在任意两点间的斜率都是同一个固定数,按直线性的几何定义,它就是一条直线;因此 $y=ax+b$ 的图象是斜率为 $a$ 的直线。

反过来,给定任意一条过点 $(x_0,y_0)$、斜率为 $a$ 的非竖直直线,令 $b=y_0-ax_0$,就得到一个一次函数 $y=ax+b$,其图象恰好就是该直线,这就建立了一次函数与非竖直直线之间对应关系的反方向。