Định lýĐã chứng minh

Định lý giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Phát biểu

Nếu $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ liên tục trên đoạn đóng bị chặn $[a,b]$ , thì $f$ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $[a,b]$ : tồn tại $x_1,x_2\in[a,b]$ sao cho $f(x_1)\le f(x)\le f(x_2)$ với mọi $x\in[a,b]$ .

Vì sao đúng?

Một đồ thị liên tục vẽ liền nét trên một đoạn đóng hữu hạn phải đạt một điểm cao nhất thật sự và một điểm thấp nhất thật sự — nó không thể chỉ tiệm cận một độ cao mà không bao giờ chạm tới, kiểu như $f(x)=1/x$ tiệm cận (nhưng không bao giờ đạt) một chặn khi $x$ tiến gần một đầu mút hở.

Phác thảo chứng minh

Theo định lý Bolzano–Weierstrass và tính liên tục, $f([a,b])$ bị chặn: nếu không, một dãy $x_n$ với $|f(x_n)|\to\infty$ sẽ có một dãy con hội tụ $x_{n_k}\to x^*\in[a,b]$ , và tính liên tục buộc $f(x_{n_k})\to f(x^*)$ là một số hữu hạn, mâu thuẫn với $|f(x_n)|\to\infty$ . Đặt $M=\sup f([a,b])$ (hữu hạn do bị chặn); chọn $x_n$ với $f(x_n)\to M$ , một dãy con hội tụ $x_{n_k}\to x_2$ cho $f(x_2)=M$ theo tính liên tục, vậy supremum đạt được. Giá trị nhỏ nhất suy ra bằng cách áp dụng cùng lập luận cho $-f$ .

Chủ đề chứa định lý này

Hàm số liên tục

Định lý liên quan

Định lý giá trị trung gian Định lý Bolzano–Weierstrass

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis
David M. Bressoud (2007). A Radical Approach to Real Analysis