Định lýĐã chứng minh

Định lý giá trị trung gian

Phát biểu

Nếu $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ liên tục và $y_0$ nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$ , thì tồn tại $c\in[a,b]$ sao cho $f(c)=y_0$ .

Vì sao đúng?

Một đường đi liên tục bắt đầu dưới mực nước biển và kết thúc trên mực nước biển thì tại một thời điểm nào đó phải đi qua đúng mực nước biển; một đồ thị vẽ liền nét không thể nhảy qua một độ cao mà không đi qua nó.

Phác thảo chứng minh

Không mất tính tổng quát, giả sử $f(a)\le y_0\le f(b)$ . Đặt $c=\sup\{x\in[a,b]: f(x)\le y_0\}$ ; tập này khác rỗng (chứa $a$ ) và bị chặn, nên $c$ tồn tại theo tính đầy đủ của $\mathbb{R}$ . Tính liên tục của $f$ tại $c$ buộc $f(c)\le y_0$ (là giới hạn của các điểm có $f\le y_0$ ) và $f(c)\ge y_0$ (nếu không, các điểm gần bên phải $c$ vẫn thoả $f\le y_0$ , mâu thuẫn với việc $c$ là supremum), do đó $f(c)=y_0$ .

Người chứng minh

chứng minh năm 1821Augustin-Louis Cauchy

Chủ đề chứa định lý này

Hàm số liên tục

Định lý liên quan

Định lý giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Định lý Bolzano–Weierstrass

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Augustin-Louis Cauchy (1821). Cours d'analyse de l'École royale polytechnique
David M. Bressoud (2007). A Radical Approach to Real Analysis