Định lý Bolzano–Weierstrass

Giả sử dãy nằm trong $[A,B]$. Chia đôi $[A,B]$ thành hai nửa; ít nhất một nửa chứa vô hạn số hạng của dãy, giữ lại nửa đó. Lặp lại, mỗi lần chia đôi và giữ lại nửa chứa vô hạn số hạng, tạo ra một dãy đoạn lồng nhau có độ dài co về $0$. Theo tính đầy đủ, các đoạn lồng nhau này co về đúng một điểm $L$. Chọn một số hạng của dãy trong mỗi đoạn liên tiếp (với chỉ số tăng thực sự, luôn có thể vì mỗi đoạn vẫn chứa vô hạn số hạng) cho ta một dãy con hội tụ về $L$.