Định lýĐã chứng minh

Định lý cơ bản của lý thuyết Galois

Phát biểu

Với mở rộng Galois hữu hạn $K/F$ có nhóm Galois $G=\operatorname{Gal}(K/F)$ , tồn tại một song ánh đảo thứ tự bao hàm giữa các nhóm con của $G$ và các trường trung gian $F\subseteq E\subseteq K$ , cho bởi $H \mapsto K^H$ (trường cố định của $H$ ) và $E \mapsto \operatorname{Gal}(K/E)$ ; theo tương ứng này, $E/F$ là mở rộng chuẩn tắc khi và chỉ khi $H$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$ , và khi đó $\operatorname{Gal}(E/F)\cong G/H$ .

Vì sao đúng?

Thay vì nghiên cứu trực tiếp một mở rộng trường cồng kềnh, lý thuyết Galois đánh đổi nó lấy nhóm đối xứng (thường nhỏ hơn nhiều, hữu hạn) $G$ của nó. Sự tương ứng nói rằng phép đánh đổi này không mất mát gì: mỗi trường trung gian nằm giữa $F$ và $K$ theo đúng cùng một khuôn mẫu mà một nhóm con nằm trong $G$ , chỉ là lộn ngược — trường lớn hơn ứng với nhóm nhỏ hơn. Các câu hỏi về tháp trường (như 'có dựng được bằng căn bậc hai không?') trở thành câu hỏi về cấu trúc của một nhóm hữu hạn, thường dễ trả lời hơn nhiều.

Phác thảo chứng minh

Với nhóm con $H\le G$ , có thể chỉ ra $K^H$ là một trường với $F\subseteq K^H\subseteq K$ ; tính độc lập tuyến tính của các đặc trưng (bổ đề Artin) cho $[K:K^H]=|H|$ , và riêng $[K:F]=|G|$ , từ đó suy ra $[K^H:F]=[G:H]$ . Tính đơn ánh và toàn ánh của $H\mapsto K^H$ suy từ định lý Artin rằng $\operatorname{Gal}(K/K^H)=H$ với mọi nhóm con $H$ ; phát biểu về tính chuẩn tắc suy ra vì liên hợp $H$ bởi $g\in G$ tương ứng với việc áp $g$ lên trường cố định $K^H$ , nên $H$ chuẩn tắc trong $G$ tương đương với $K^H$ ổn định dưới toàn bộ $G$ , tức $K^H/F$ là Galois.

Người chứng minh

chứng minh năm 1832Évariste Galois

Chủ đề chứa định lý này

Lý thuyết Galois

Định lý liên quan

Định lý Abel–Ruffini Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm)

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Ian Stewart (2015). Galois Theory · DOI:10.1201/b18187