Định lýĐã chứng minh

Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm)

Phát biểu

Nếu $G$ là một nhóm hữu hạn và $H$ là nhóm con của $G$ , thì $|H|$ chia hết $|G|$ ; cụ thể $|G| = [G:H]\cdot|H|$ , trong đó $[G:H]$ là số lớp kề của $H$ trong $G$ .

Vì sao đúng?

Một nhóm con $H$ chia toàn bộ nhóm $G$ thành các lớp kề $gH$ có kích thước hệt như $H$ (phép tịnh tiến theo $g$ là song ánh) và không bao giờ chồng lên nhau — mỗi phần tử của $G$ rơi vào đúng một lớp kề. Vì $G$ được lát kín bởi các mảnh cùng kích thước, không chồng lấn, nên kích thước của $G$ phải là bội nguyên của kích thước mảnh $|H|$ .

Phác thảo chứng minh

Chỉ ra các lớp kề trái $gH$ phân hoạch $G$ : chúng phủ kín $G$ (mỗi $g\in gH$ ) và hai lớp kề bất kỳ hoặc trùng nhau hoặc rời nhau (nếu $g_1H\cap g_2H\neq\varnothing$ thì $g_1H=g_2H$ ). Mỗi lớp kề có đúng $|H|$ phần tử vì $h\mapsto gh$ là song ánh $H\to gH$ . Cộng $|H|$ trên $[G:H]$ lớp kề cho $|G|=[G:H]\cdot|H|$ .

Người phát biểu

nêu năm 1771Joseph-Louis Lagrange

Chủ đề chứa định lý này

Lý thuyết nhóm

Định lý liên quan

Định lý cơ bản của lý thuyết Galois

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

David S. Dummit, Richard M. Foote (2004). Abstract Algebra