Myers定理

根据Hopf–Rinow定理,由于 $M$ 完备,任意两点都可由一条最小测地线相连。为反证,假设某条单位速度最小测地线 $\gamma:[0,L]\to M$ 的长度满足 $L > \pi/\sqrt{k}$。

由于 $\gamma$ 使长度最小,对沿 $\gamma$ 且在两端点处为零的任意分段光滑向量场 $V$,第二变分(指标型)满足 $I(V,V) \geq 0$,其中 $I(V,V) = \int_0^L \left(|V'|^2 - \langle R(V,\gamma')\gamma', V\rangle\right)dt$。沿 $\gamma$ 选取一个处处与 $\gamma'$ 正交的平行标准正交标架 $E_1,\dots,E_{n-1}$,并用向量场 $V_i(t) = \sin(\pi t/L)\,E_i(t)$($i=1,\dots,n-1$)进行检验。

由于 $E_i$ 是平行的,$V_i' = \frac{\pi}{L}\cos(\pi t/L)E_i$,故 $I(V_i,V_i) = \int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - \sin^2(\pi t/L)\langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle\right]dt$。对 $i$ 求和并利用 $\sum_i \langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle = \mathrm{Ric}(\gamma',\gamma') \geq (n-1)k$,得到 $\sum_i I(V_i,V_i) \leq (n-1)\int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - k\sin^2(\pi t/L)\right]dt$。

由于 $\int_0^L\cos^2(\pi t/L)\,dt = \int_0^L\sin^2(\pi t/L)\,dt = L/2$,右边等于 $(n-1)\cdot\frac{L}{2}\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 - k\right]$,只要 $L > \pi/\sqrt{k}$ 该式就严格为负。于是某个 $I(V_i,V_i) < 0$,与 $\gamma$ 使长度最小矛盾。因此每条最小测地线都满足 $L \leq \pi/\sqrt{k}$,从而 $\mathrm{diam}(M) \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{k}}$;由Hopf–Rinow定理,直径有限的完备流形是紧的,把同样的论证用于万有覆盖(它继承相同的里奇曲率下界)可知它也是紧的,从而 $\pi_1(M)$ 必为有限。