Định lý Myers

Theo định lý Hopf–Rinow, vì $M$ đầy đủ nên hai điểm bất kỳ được nối bằng một đường trắc địa cực tiểu. Giả sử phản chứng rằng một đường trắc địa cực tiểu tốc độ đơn vị nào đó $\gamma:[0,L]\to M$ có độ dài $L > \pi/\sqrt{k}$.

Vì $\gamma$ cực tiểu hóa độ dài, biến phân bậc hai (dạng chỉ số) thỏa $I(V,V) \geq 0$ với mọi trường vectơ trơn từng khúc $V$ dọc $\gamma$ triệt tiêu tại hai đầu mút, với $I(V,V) = \int_0^L \left(|V'|^2 - \langle R(V,\gamma')\gamma', V\rangle\right)dt$. Chọn một khung trực chuẩn song song $E_1,\dots,E_{n-1}$ dọc $\gamma$, luôn vuông góc với $\gamma'$, và thử với các trường $V_i(t) = \sin(\pi t/L)\,E_i(t)$ với $i=1,\dots,n-1$.

Vì $E_i$ song song, $V_i' = \frac{\pi}{L}\cos(\pi t/L)E_i$, nên $I(V_i,V_i) = \int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - \sin^2(\pi t/L)\langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle\right]dt$. Cộng theo $i$ và dùng $\sum_i \langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle = \mathrm{Ric}(\gamma',\gamma') \geq (n-1)k$ cho $\sum_i I(V_i,V_i) \leq (n-1)\int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - k\sin^2(\pi t/L)\right]dt$.

Vì $\int_0^L\cos^2(\pi t/L)\,dt = \int_0^L\sin^2(\pi t/L)\,dt = L/2$, vế phải bằng $(n-1)\cdot\frac{L}{2}\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 - k\right]$, âm ngặt bất cứ khi nào $L > \pi/\sqrt{k}$. Vậy một $I(V_i,V_i) < 0$ nào đó, mâu thuẫn với việc $\gamma$ cực tiểu hóa độ dài. Do đó mọi đường trắc địa cực tiểu thỏa $L \leq \pi/\sqrt{k}$, nên $\mathrm{diam}(M) \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{k}}$; theo Hopf–Rinow, một đa tạp đầy đủ có đường kính hữu hạn thì compact, và cùng lập luận áp dụng cho không gian phủ phổ dụng (thừa hưởng cùng chặn dưới Ricci) cho thấy nó cũng compact, buộc $\pi_1(M)$ hữu hạn.