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黎曼几何 研究在每点都配备长度和角度度量方式的空间上的微分几何,是广义相对论的数学语言。
直观 直觉:没有直尺的几何学 设想一只生活在丘陵地形上的蚂蚁,或一枚在弯曲时空中航行的火箭:它们都没有直尺,也没有平坦的方格纸,但无论站在哪里,都仍能测量短距离和小角度。黎曼几何仅凭这种平滑地附着在空间每一点上的局部、无穷小的量尺,构建出关于长度、角度、笔直性与曲率的整套理论。它是广义相对论——时空本身是弯曲的——背后的数学语言,也是从机械臂到机器学习模型等一切自然配置空间是弯曲而非平坦的系统背后的语言。
鞍形曲面 z = x 2 − y 2 z = x^2 - y^2 z = x 2 − y 2 大学 黎曼度量:在每一点测量长度和角度 定义: 黎曼度量
光滑流形 M M M g g g x 1 , … , x n x^1,\dots,x^n x 1 , … , x n g i j g_{ij} g ij d s 2 = g i j d x i d x j ds^2 = g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j
d s 2 = g i j d x i d x j ds^2 = g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j 曲线γ \gamma γ a a a b b b L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t ) ) d t L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))}\,dt L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t )) d t g g g g g g
L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t ) ) d t L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))}\,dt L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t )) d t 大学 Levi-Civita联络与测地线 定义: Levi-Civita联络
要在弯曲空间中沿曲线对向量场求导,需要一个比较邻近点处切向量的规则,称为联络∇ \nabla ∇ Γ i j k = 1 2 g k l ( ∂ i g j l + ∂ j g i l − ∂ l g i j ) \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2}g^{kl}\left(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}\right) Γ ij k = 2 1 g k l ( ∂ i g j l + ∂ j g i l − ∂ l g ij ) g k l g^{kl} g k l g k l g_{kl} g k l
Γ i j k = 1 2 g k l ( ∂ i g j l + ∂ j g i l − ∂ l g i j ) \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2}g^{kl}\left(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}\right) Γ ij k = 2 1 g k l ( ∂ i g j l + ∂ j g i l − ∂ l g ij ) 测地线是能够平行移动自身速度的曲线,也就是说,它在给定度量下 尽可能笔直 地前进;它是直线的自然推广,并在局部上使两端点之间的长度最短。用坐标写出,这一条件就是测地线方程d 2 x k d t 2 + Γ i j k d x i d t d x j d t = 0 \dfrac{d^2 x^k}{dt^2} + \Gamma^k_{ij}\dfrac{dx^i}{dt}\dfrac{dx^j}{dt} = 0 d t 2 d 2 x k + Γ ij k d t d x i d t d x j = 0
d 2 x k d t 2 + Γ i j k d x i d t d x j d t = 0 \frac{d^2 x^k}{dt^2} + \Gamma^k_{ij}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt} = 0 d t 2 d 2 x k + Γ ij k d t d x i d t d x j = 0 进阶 曲率:黎曼曲率、里奇曲率与数量曲率 定义: 黎曼曲率张量
黎曼曲率张量R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z R(X,Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z X X X Y Y Y K ( X , Y ) = ⟨ R ( X , Y ) Y , X ⟩ ∣ X ∣ 2 ∣ Y ∣ 2 − ⟨ X , Y ⟩ 2 K(X,Y) = \dfrac{\langle R(X,Y)Y,X\rangle}{|X|^2|Y|^2 - \langle X,Y\rangle^2} K ( X , Y ) = ∣ X ∣ 2 ∣ Y ∣ 2 − ⟨ X , Y ⟩ 2 ⟨ R ( X , Y ) Y , X ⟩ X , Y X,Y X , Y
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z R(X,Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z 定义: 里奇曲率与数量曲率
里奇曲率R i c ( Y , Z ) = t r ( X ↦ R ( X , Y ) Z ) \mathrm{Ric}(Y,Z) = \mathrm{tr}\big(X \mapsto R(X,Y)Z\big) Ric ( Y , Z ) = tr ( X ↦ R ( X , Y ) Z ) R = t r g ( R i c ) R = \mathrm{tr}_g(\mathrm{Ric}) R = tr g ( Ric )
R i c ( Y , Z ) = t r ( X ↦ R ( X , Y ) Z ) , R = t r g ( R i c ) \mathrm{Ric}(Y,Z) = \mathrm{tr}\big(X \mapsto R(X,Y)Z\big), \qquad R = \mathrm{tr}_g(\mathrm{Ric}) Ric ( Y , Z ) = tr ( X ↦ R ( X , Y ) Z ) , R = tr g ( Ric ) n n n 曲率 对象类型 衡量的内容 截面曲率 K ( X , Y ) K(X,Y) K ( X , Y ) 每个二维平面对应一个数 与该平面相切的二维切片的高斯曲率 里奇 R i c ( Y , Z ) \mathrm{Ric}(Y,Z) Ric ( Y , Z ) 一个对称双线性型 沿某方向的所有二维平面上截面曲率的平均值 数量 R R R 每一点上的一个数 所有方向上的平均曲率,例如常曲率 k k k R = n ( n − 1 ) k R=n(n-1)k R = n ( n − 1 ) k
进阶 关键定理:Hopf–Rinow 与 Myers 设 ( M , g ) (M,g) ( M , g ) M M M R \mathbb{R} R M M M g g g M M M M M M
为什么成立? 完备性是局部(只能保证测地线在短时间内存在的常微分方程)与整体(一个性质良好的空间,其中距离的表现就像普通空间中一个闭且有界的区域,并且你凭直觉画出的最短路径总是确实存在)之间的桥梁。
证明 (i) ⇒ \Rightarrow ⇒ p , q ∈ M p,q \in M p , q ∈ M r = d ( p , q ) r = d(p,q) r = d ( p , q ) S ε ( p ) S_\varepsilon(p) S ε ( p ) x ↦ d ( x , q ) x \mapsto d(x,q) x ↦ d ( x , q ) x 0 = γ ( ε ) x_0 = \gamma(\varepsilon) x 0 = γ ( ε ) γ \gamma γ p p p x 0 x_0 x 0 d ( γ ( ε ) , q ) = r − ε d(\gamma(\varepsilon),q) = r-\varepsilon d ( γ ( ε ) , q ) = r − ε A = { t ∈ [ 0 , r ] : d ( γ ( t ) , q ) = r − t } A = \{t \in [0,r] : d(\gamma(t),q) = r-t\} A = { t ∈ [ 0 , r ] : d ( γ ( t ) , q ) = r − t } A A A t 0 < r t_0<r t 0 < r t 0 ∈ A t_0 \in A t 0 ∈ A γ ( t 0 ) \gamma(t_0) γ ( t 0 ) A A A [ 0 , r ] [0,r] [ 0 , r ] A = [ 0 , r ] A=[0,r] A = [ 0 , r ] γ ( r ) = q \gamma(r)=q γ ( r ) = q
(i) ⇒ \Rightarrow ⇒ M M M ( x n ) (x_n) ( x n ) T p M T_pM T p M
(ii) ⇒ \Rightarrow ⇒
(iii) ⇒ \Rightarrow ⇒ γ \gamma γ [ 0 , T ) [0,T) [ 0 , T ) T < ∞ T<\infty T < ∞ t → T − t \to T^- t → T − γ ( t ) \gamma(t) γ ( t ) γ ( 0 ) \gamma(0) γ ( 0 ) T T T t n → T t_n \to T t n → T γ ( t n ) \gamma(t_n) γ ( t n ) T T T T T T R \mathbb{R} R
设 ( M n , g ) (M^n,g) ( M n , g ) R i c ≥ ( n − 1 ) k g \mathrm{Ric} \geq (n-1)k\,g Ric ≥ ( n − 1 ) k g k > 0 k>0 k > 0 ( n − 1 ) k (n-1)k ( n − 1 ) k M M M d i a m ( M ) ≤ π k \mathrm{diam}(M) \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{k}} diam ( M ) ≤ k π π 1 ( M ) \pi_1(M) π 1 ( M )
为什么成立? 正的里奇曲率意味着测地线平均而言会相互汇聚,就像在球面上一样;如果这种汇聚在每个方向上都足够强,一条测地线就不可能永远保持距离最短——它最终会遇到一个共轭点,附近的测地线在那里追上它,这就限制了任意两点之间可能的最大距离。
证明 根据Hopf–Rinow定理,由于 M M M γ : [ 0 , L ] → M \gamma:[0,L]\to M γ : [ 0 , L ] → M L > π / k L > \pi/\sqrt{k} L > π / k
由于 γ \gamma γ γ \gamma γ V V V I ( V , V ) ≥ 0 I(V,V) \geq 0 I ( V , V ) ≥ 0 I ( V , V ) = ∫ 0 L ( ∣ V ′ ∣ 2 − ⟨ R ( V , γ ′ ) γ ′ , V ⟩ ) d t I(V,V) = \int_0^L \left(|V'|^2 - \langle R(V,\gamma')\gamma', V\rangle\right)dt I ( V , V ) = ∫ 0 L ( ∣ V ′ ∣ 2 − ⟨ R ( V , γ ′ ) γ ′ , V ⟩ ) d t γ \gamma γ γ ′ \gamma' γ ′ E 1 , … , E n − 1 E_1,\dots,E_{n-1} E 1 , … , E n − 1 V i ( t ) = sin ( π t / L ) E i ( t ) V_i(t) = \sin(\pi t/L)\,E_i(t) V i ( t ) = sin ( π t / L ) E i ( t ) i = 1 , … , n − 1 i=1,\dots,n-1 i = 1 , … , n − 1
由于 E i E_i E i V i ′ = π L cos ( π t / L ) E i V_i' = \frac{\pi}{L}\cos(\pi t/L)E_i V i ′ = L π cos ( π t / L ) E i I ( V i , V i ) = ∫ 0 L [ ( π L ) 2 cos 2 ( π t / L ) − sin 2 ( π t / L ) ⟨ R ( E i , γ ′ ) γ ′ , E i ⟩ ] d t I(V_i,V_i) = \int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - \sin^2(\pi t/L)\langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle\right]dt I ( V i , V i ) = ∫ 0 L [ ( L π ) 2 cos 2 ( π t / L ) − sin 2 ( π t / L ) ⟨ R ( E i , γ ′ ) γ ′ , E i ⟩ ] d t i i i ∑ i ⟨ R ( E i , γ ′ ) γ ′ , E i ⟩ = R i c ( γ ′ , γ ′ ) ≥ ( n − 1 ) k \sum_i \langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle = \mathrm{Ric}(\gamma',\gamma') \geq (n-1)k ∑ i ⟨ R ( E i , γ ′ ) γ ′ , E i ⟩ = Ric ( γ ′ , γ ′ ) ≥ ( n − 1 ) k ∑ i I ( V i , V i ) ≤ ( n − 1 ) ∫ 0 L [ ( π L ) 2 cos 2 ( π t / L ) − k sin 2 ( π t / L ) ] d t \sum_i I(V_i,V_i) \leq (n-1)\int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - k\sin^2(\pi t/L)\right]dt ∑ i I ( V i , V i ) ≤ ( n − 1 ) ∫ 0 L [ ( L π ) 2 cos 2 ( π t / L ) − k sin 2 ( π t / L ) ] d t
由于 ∫ 0 L cos 2 ( π t / L ) d t = ∫ 0 L sin 2 ( π t / L ) d t = L / 2 \int_0^L\cos^2(\pi t/L)\,dt = \int_0^L\sin^2(\pi t/L)\,dt = L/2 ∫ 0 L cos 2 ( π t / L ) d t = ∫ 0 L sin 2 ( π t / L ) d t = L /2 ( n − 1 ) ⋅ L 2 [ ( π L ) 2 − k ] (n-1)\cdot\frac{L}{2}\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 - k\right] ( n − 1 ) ⋅ 2 L [ ( L π ) 2 − k ] L > π / k L > \pi/\sqrt{k} L > π / k I ( V i , V i ) < 0 I(V_i,V_i) < 0 I ( V i , V i ) < 0 γ \gamma γ L ≤ π / k L \leq \pi/\sqrt{k} L ≤ π / k d i a m ( M ) ≤ π k \mathrm{diam}(M) \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{k}} diam ( M ) ≤ k π π 1 ( M ) \pi_1(M) π 1 ( M )
进阶 实际应用与典型例题 黎曼几何是广义相对论的语言:爱因斯坦场方程把时空的里奇曲率(经洛伦兹符号调整后)与其中的物质和能量联系起来,而自由下落的物体沿着这个弯曲度量的测地线运动。机器人学与运动规划把关节角度或形状空间当作黎曼流形,以避开障碍物、使能量最小化的测地线来规划运动。信息几何在统计模型空间上放置黎曼度量(Fisher信息度量),由此产生的测地线给出机器学习中自然梯度下降之类算法所用的最短统计路径。计算机视觉中的形状分析把物体轮廓当作黎曼流形上的点,用测地距离来比较不同的形状。
例题: 庞加莱上半平面的常曲率
庞加莱上半平面模型的度量为 d s 2 = λ ( x , y ) 2 ( d x 2 + d y 2 ) ds^2 = \lambda(x,y)^2(dx^2+dy^2) d s 2 = λ ( x , y ) 2 ( d x 2 + d y 2 ) λ ( x , y ) = 1 / y \lambda(x,y) = 1/y λ ( x , y ) = 1/ y y > 0 y>0 y > 0 K = − 1 λ 2 Δ ( ln λ ) K = -\dfrac{1}{\lambda^2}\Delta(\ln\lambda) K = − λ 2 1 Δ ( ln λ ) K K K
解答 写出共形因子的对数:由于 λ ( x , y ) = 1 / y \lambda(x,y) = 1/y λ ( x , y ) = 1/ y ln λ = ln ( 1 / y ) = − ln y \ln\lambda = \ln(1/y) = -\ln y ln λ = ln ( 1/ y ) = − ln y y y y
对 y y y ∂ y ( − ln y ) = − 1 / y \partial_y(-\ln y) = -1/y ∂ y ( − ln y ) = − 1/ y ∂ y 2 ( − ln y ) = 1 / y 2 \partial_y^2(-\ln y) = 1/y^2 ∂ y 2 ( − ln y ) = 1/ y 2 ln λ \ln\lambda ln λ x x x Δ ( ln λ ) = ∂ x 2 ( ln λ ) + ∂ y 2 ( ln λ ) = 0 + 1 / y 2 = 1 / y 2 \Delta(\ln\lambda) = \partial_x^2(\ln\lambda) + \partial_y^2(\ln\lambda) = 0 + 1/y^2 = 1/y^2 Δ ( ln λ ) = ∂ x 2 ( ln λ ) + ∂ y 2 ( ln λ ) = 0 + 1/ y 2 = 1/ y 2
代入曲率公式:K = − 1 λ 2 Δ ( ln λ ) K = -\dfrac{1}{\lambda^2}\Delta(\ln\lambda) K = − λ 2 1 Δ ( ln λ ) λ 2 = 1 / y 2 \lambda^2 = 1/y^2 λ 2 = 1/ y 2 K = − y 2 ⋅ 1 y 2 = − 1 K = -y^2 \cdot \dfrac{1}{y^2} = -1 K = − y 2 ⋅ y 2 1 = − 1
y y y K = − 1 K=-1 K = − 1
例题: 球面的里奇曲率与数量曲率,及Myers定理检验
利用截面曲率为常数 k k k R i j k l = k ( g i k g j l − g i l g j k ) R_{ijkl} = k(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}) R ij k l = k ( g ik g j l − g i l g j k ) S 2 S^2 S 2
解答 半径为 1 1 1 S 2 S^2 S 2 k = 1 k=1 k = 1 R i j k l = k ( g i k g j l − g i l g j k ) R_{ijkl} = k(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}) R ij k l = k ( g ik g j l − g i l g j k ) n = 2 n=2 n = 2
求一次迹得到里奇张量 R i c = ( n − 1 ) k g \mathrm{Ric} = (n-1)k\,g Ric = ( n − 1 ) k g n = 2 n=2 n = 2 k = 1 k=1 k = 1 R i c = ( 2 − 1 ) ⋅ 1 ⋅ g = g \mathrm{Ric} = (2-1)\cdot 1\cdot g = g Ric = ( 2 − 1 ) ⋅ 1 ⋅ g = g 1 1 1
再求一次迹得到数量曲率 R = n ( n − 1 ) k R = n(n-1)k R = n ( n − 1 ) k n = 2 n=2 n = 2 k = 1 k=1 k = 1 R = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 R = 2\cdot 1\cdot 1 = 2 R = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2
由于 k = 1 k=1 k = 1 R i c ≥ ( n − 1 ) k g \mathrm{Ric} \geq (n-1)k\,g Ric ≥ ( n − 1 ) k g d i a m ( M ) ≤ π k \mathrm{diam}(M) \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{k}} diam ( M ) ≤ k π d i a m ( S 2 ) ≤ π / 1 = π \mathrm{diam}(S^2) \leq \pi/\sqrt{1} = \pi diam ( S 2 ) ≤ π / 1 = π π \pi π
常见错误. 很容易以为,如果里奇曲率处处为正,就一定意味着每个二维平面上的截面曲率都为正,但里奇曲率只是一个平均值:完全有可能在某点 R i c ( Y , Z ) \mathrm{Ric}(Y,Z) Ric ( Y , Z ) 历史注记
1854年,黎曼在哥廷根发表了教授资格演讲《论作为几何学基础的假设》,提出空间可以通过每个切空间上光滑变化的内积来研究,而不是固定的欧几里得公理——这一个宏大的思想开创了整个学科,并在六十年后,恰好为爱因斯坦提供了广义相对论所需要的数学工具。
波恩哈德·黎曼
研究前沿 截至 2026 年
黎曼几何近年最具影响力的工具是里奇流,由理查德·汉密尔顿于1982年引入,它按照 ∂ t g i j = − 2 R i j \partial_t g_{ij} = -2R_{ij} ∂ t g ij = − 2 R ij
某完备黎曼流形满足 R i c ≥ ( n − 1 ) k g \mathrm{Ric} \geq (n-1)k\,g Ric ≥ ( n − 1 ) k g k = 4 k=4 k = 4
π / 2 \pi/2 π /2 π / 4 \pi/4 π /4 2 π 2\pi 2 π 4 π 4\pi 4 π 哪个应用数学领域在统计模型空间上放置黎曼度量(Fisher信息度量),并在自然梯度下降等优化算法中使用其测地线?
信息几何 线性规划 组合数学 数论
某三维空间具有常截面曲率 k = 2 k=2 k = 2 R = n ( n − 1 ) k R = n(n-1)k R = n ( n − 1 ) k R R R
在黎曼流形上所有可能的联络中,唯一刻画Levi-Civita联络 ∇ \nabla ∇
无挠且与度量相容 线性且连续 对称且可逆 正定且光滑