Định lýĐã chứng minh

Quy tắc L'Hôpital

Phát biểu

Giả sử $f,g$ khả vi gần $a$ (có thể trừ tại $a$ ), $g'(x)\neq 0$ gần đó, và $\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ hoặc cả hai đều dần tới $\pm\infty$ . Nếu $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ tồn tại (hoặc bằng $\pm\infty$ ), thì $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ .

Vì sao đúng?

Gần một cuộc đua hoà '0/0' giữa hai đại lượng cùng co về không, không phải độ lớn mà là tốc độ tương đối lúc chúng triệt tiêu mới quyết định giới hạn của tỷ số - đại lượng nào co 'nhanh hơn' (đo bằng đạo hàm) sẽ chiếm ưu thế.

Phác thảo chứng minh

Mở rộng $f,g$ bằng cách đặt $f(a)=g(a)=0$ (trong trường hợp $0/0$ ), để cả hai liên tục tại $a$ . Với $x$ gần $a$ , áp dụng định lý giá trị trung bình Cauchy cho $f,g$ trên khoảng giữa $a$ và $x$ : $\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ với một $\xi$ nào đó nằm thực sự giữa $a$ và $x$ . Khi $x\to a$ thì $\xi\to a$ luôn, nên $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\to \lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)}$ . Trường hợp $\infty/\infty$ suy ra từ một ước lượng tương tự nhưng tinh tế hơn.

Chủ đề chứa định lý này

Ứng dụng đạo hàm

Định lý liên quan

Định lý giá trị trung bình (Lagrange)

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Guillaume François Antoine de L'Hôpital (1696). Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes courbes
Carl B. Boyer (1968). A History of Mathematics