Định lýĐã chứng minh

Định lý giá trị trung bình (Lagrange)

Phát biểu

Nếu $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$ , thì tồn tại $c\in(a,b)$ sao cho $f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Vì sao đúng?

Trong một chuyến đi ô tô, tại một thời điểm nào đó, chỉ số đồng hồ tốc độ (tốc độ tức thời) phải bằng đúng tốc độ trung bình của cả chuyến đi — không thể luôn nhanh hơn mức trung bình suốt cả chuyến, cũng không thể luôn chậm hơn suốt cả chuyến.

Phác thảo chứng minh

Xét hàm phụ $g(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ , đo khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa $f$ và đường thẳng cát tuyến qua $(a,f(a))$ và $(b,f(b))$ . Khi đó $g$ liên tục trên $[a,b]$ , khả vi trên $(a,b)$ , và $g(a)=g(b)=0$ , nên định lý Rolle cho $c\in(a,b)$ với $g'(c)=0$ , tức $f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Người phát biểu

nêu năm 1797Joseph-Louis Lagrange

Chủ đề chứa định lý này

Ứng dụng đạo hàm Tích phân

Định lý liên quan

Định lý Rolle Định lý cơ bản của giải tích Quy tắc L'Hôpital

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Joseph-Louis Lagrange (1797). Théorie des fonctions analytiques
James Stewart (2015). Calculus