Bổ đề Schur và tính trực giao của đặc trưng

Bước 1 (Bổ đề Schur, hạt nhân và ảnh). Cho $f: V \to W$ tương đương $G$, tức $f(\rho_V(g)v) = \rho_W(g)f(v)$ với mọi $g,v$. Khi đó $\ker f \subseteq V$ là một không gian con bất biến với $G$ (nếu $f(v)=0$ thì $f(\rho_V(g)v) = \rho_W(g)f(v) = 0$), và vì $V$ bất khả quy, $\ker f$ hoặc là $0$ hoặc là toàn bộ $V$.

Bước 2 (kết luận $f=0$ hoặc $f$ đơn ánh, rồi toàn ánh). Nếu $\ker f = V$, thì $f = 0$. Ngược lại $\ker f = 0$, nên $f$ đơn ánh; ảnh $f(V) \subseteq W$ cũng bất biến với $G$ (do tính tương đương), và vì $W$ bất khả quy và $f(V) \ne 0$ (vì $f\ne0$), $f(V) = W$, khiến $f$ song ánh, do đó là một đẳng cấu.

Bước 3 ($V=W$ buộc $f=\lambda I$). Vì $\mathbb{C}$ đóng đại số, $f$ có một trị riêng $\lambda$ với không gian riêng $E_\lambda = \ker(f-\lambda I) \ne 0$. Vì $f$ tương đương $G$, nên $f - \lambda I$ cũng vậy, nên $E_\lambda$ là một không gian con bất biến với $G$ khác không của $V$ bất khả quy, buộc $E_\lambda = V$; do đó $f = \lambda I$.

Bước 4 (tính trực giao từ lấy trung bình). Cố định các cơ sở và cho $f: V_j \to V_i$ là một ánh xạ tuyến tính tùy ý; lập ánh xạ tương đương $\bar f = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g} \rho_i(g) f \rho_j(g)^{-1}$ đúng như trong định lý Maschke. Theo Bước 1–3, $\bar f = 0$ nếu $V_i \not\cong V_j$, và $\bar f = \lambda I$ (với $\lambda$ tính được qua vết) nếu $V_i = V_j$. Chọn $f$ là các ma trận đơn vị cơ bản và so sánh các mục ma trận của $\bar f$ ở cả hai vế đẳng thức này, sau khi lấy tổng theo đường chéo để trích vết, cho đúng $\dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \chi_i(g)\overline{\chi_j(g)} = \delta_{ij}$.