控制收敛定理

由于几乎处处有 $g - f_n \ge 0$,可应用法图引理:$\int \liminf_{n\to\infty}(g-f_n)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int (g-f_n)\,d\mu$。因为 $f_n \to f$,左边等于 $\int (g-f)\,d\mu = \int g\,d\mu - \int f\,d\mu$(由于 $\int g\,d\mu$ 有限,此式成立),右边等于 $\int g\,d\mu - \limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$。

两边消去有限量 $\int g\,d\mu$,得 $-\int f\,d\mu \le -\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$,即 $\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu$。

接着,由于几乎处处有 $g+f_n \ge 0$,对 $(g+f_n)$ 应用法图引理得 $\int (g+f)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int (g+f_n)\,d\mu$,再次消去 $\int g\,d\mu$ 得 $\int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$。

结合两个不等式,$\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$。由于总有 $\liminf \le \limsup$,这三个量必须全部相等,故 $\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ 存在且等于 $\int f\,d\mu$。