Định lý hội tụ trội

Vì $g - f_n \ge 0$ hầu khắp nơi, bổ đề Fatou áp dụng được: $\int \liminf_{n\to\infty}(g-f_n)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int (g-f_n)\,d\mu$. Vì $f_n \to f$, vế trái bằng $\int (g-f)\,d\mu = \int g\,d\mu - \int f\,d\mu$ (hợp lệ vì $\int g\,d\mu$ hữu hạn), và vế phải bằng $\int g\,d\mu - \limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$.

Triệt tiêu đại lượng hữu hạn $\int g\,d\mu$ ở cả hai vế cho $-\int f\,d\mu \le -\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$, tức $\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu$.

Tiếp theo, vì $g+f_n \ge 0$ hầu khắp nơi, bổ đề Fatou áp dụng cho $(g+f_n)$ cho $\int (g+f)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int (g+f_n)\,d\mu$, và triệt tiêu $\int g\,d\mu$ lần nữa cho $\int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$.

Kết hợp hai bất đẳng thức, $\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$. Vì $\liminf \le \limsup$ luôn đúng, cả ba đại lượng phải trùng nhau, nên $\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ tồn tại và bằng $\int f\,d\mu$.