测度论

由于 $f_n$ 只会增大,当 $n$ 增大时不会有“面积”丢失或被重复计算;把它们的简单函数逼近逐层叠加,累积的总面积恰好收敛到极限函数 $f$ 下方的面积。

由于 $\int f_n\,d\mu$(随 $f_n$ 递增)是广义实数中的非减序列,极限 $L := \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ 在 $[0,\infty]$ 中存在。由于对每个 $n$ 都有 $f_n \le f$,由积分的单调性得 $\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu$ 对每个 $n$ 成立,故 $L \le \int f\,d\mu$。

为证明反向不等式,任取满足 $0 \le s \le f$ 的简单可测函数 $s$,并固定常数 $c \in (0,1)$。令 $E_n = \{x : f_n(x) \ge c\,s(x)\}$。由于 $f_n$ 逐点递增到 $f \ge s$,集合 $E_n$ 递增且其并集(几乎)是整个 $X$:对几乎所有满足 $s(x)=0$ 的 $x$ 这是自动成立的,而对几乎所有满足 $s(x)>0$ 的 $x$,由于 $f_n(x)\to f(x) \ge s(x) > c\,s(x)$,最终会有 $f_n(x) > c\,s(x)$。

写 $s = \sum_k c_k \mathbf{1}_{E_k}$,可得 $\int f_n\,d\mu \ge \int_{E_n} f_n\,d\mu \ge c\int_{E_n} s\,d\mu = c\sum_k c_k\,\mu(E_k \cap E_n)$。由可数可加性(测度从下方的连续性,因为 $E_n$ 递增到 $X$),当 $n\to\infty$ 时 $\mu(E_k \cap E_n) \to \mu(E_k)$,于是令 $n\to\infty$ 得 $L \ge c\sum_k c_k\,\mu(E_k) = c\int s\,d\mu$。

令 $c \to 1$,对每个简单函数 $s \le f$ 都有 $L \ge \int s\,d\mu$,再对所有这样的 $s$ 取上确界(正是 $\int f\,d\mu$ 的定义),得到 $L \ge \int f\,d\mu$。结合前面的 $L \le \int f\,d\mu$,即得 $L = \int f\,d\mu$。

控制函数 $g$ 起到固定“天花板”的作用,其总质量有限,任何 $f_n$ 都不能超过它,从而排除了质量悄悄逃逸到无穷远的情形——这正是在没有单调性可依赖时,朴素的极限交换论证会失败的方式。

由于几乎处处有 $g - f_n \ge 0$,可应用法图引理:$\int \liminf_{n\to\infty}(g-f_n)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int (g-f_n)\,d\mu$。因为 $f_n \to f$,左边等于 $\int (g-f)\,d\mu = \int g\,d\mu - \int f\,d\mu$(由于 $\int g\,d\mu$ 有限,此式成立),右边等于 $\int g\,d\mu - \limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$。

两边消去有限量 $\int g\,d\mu$,得 $-\int f\,d\mu \le -\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$,即 $\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu$。

接着,由于几乎处处有 $g+f_n \ge 0$,对 $(g+f_n)$ 应用法图引理得 $\int (g+f)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int (g+f_n)\,d\mu$,再次消去 $\int g\,d\mu$ 得 $\int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$。

结合两个不等式,$\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$。由于总有 $\liminf \le \limsup$,这三个量必须全部相等,故 $\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ 存在且等于 $\int f\,d\mu$。