Định lý phổ cho toán tử tự liên hợp compact

Trước hết, mọi trị riêng của một toán tử tự liên hợp đều là số thực: nếu $Tx=\lambda x$ với $x\ne0$, thì $\lambda\|x\|^2=\langle Tx,x\rangle=\langle x,Tx\rangle=\bar\lambda\|x\|^2$ (dùng tính tự liên hợp ở bước giữa), nên $\lambda=\bar\lambda$. Tương tự, các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau $\lambda\ne\mu$ trực giao với nhau: $\lambda\langle x,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle=\mu\langle x,y\rangle$ buộc $\langle x,y\rangle=0$.

Tiếp theo, tính compact bảo đảm một trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất thực sự tồn tại: chuẩn toán tử thỏa $\|T\|=\sup_{\|x\|=1}|\langle Tx,x\rangle|$ với $T$ tự liên hợp, và tính compact cho phép trích ra một dãy con hội tụ từ một dãy cực đại hóa cho $|\langle Tx,x\rangle|$, tạo ra một vectơ đơn vị $e_1$ với $Te_1=\lambda_1 e_1$ trong đó $|\lambda_1|=\|T\|$.

Bây giờ quy nạp: đã tìm được các vectơ riêng trực chuẩn $e_1,\dots,e_{n-1}$ với các trị riêng $\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}$, hạn chế $T$ lên không gian con đóng $H_n=\{e_1,\dots,e_{n-1}\}^\perp$. Vì $T$ ánh xạ $H_n$ vào chính nó (tính tự liên hợp làm cho phần bù trực giao của một không gian con bất biến cũng bất biến) và vẫn compact, tự liên hợp ở đó, cùng lập luận trị riêng cực đại tạo ra vectơ riêng tiếp theo $e_n\in H_n$ với $|\lambda_n|\le|\lambda_{n-1}|$.

Cuối cùng, nếu quá trình này không dừng, $\lambda_n\to0$: nếu không, vô hạn $|\lambda_n|$ sẽ ở trên một $\delta>0$ nào đó, nhưng khi đó $\{Te_n\}=\{\lambda_ne_n\}$ sẽ không có dãy con hội tụ (vì $\|\lambda_ne_n-\lambda_me_n\|^2\ge\delta^2\cdot2$ với $n\ne m$ theo tính trực chuẩn), mâu thuẫn với tính compact của $T$. Sau đó ta kiểm tra rằng bao đóng của span của $\{e_n\}$ cùng với $\ker T$ lấp đầy $H$, và $T$ tác động như $0$ trên $\ker T$, cho khai triển riêng $Tx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n$ với mọi $x\in H$.