算子理论

这说明紧自伴算子无论看起来多么复杂，在合适的标准正交基下其实都是对角矩阵——正如线性代数中的对称矩阵总能被一组正交特征基对角化一样。这使得我们可以定义算子的函数、求解 $Tx=y$，并按主导特征方向分解信号或图像(主成分分析正是这一定理的伪装形式)。

首先，自伴算子的每个特征值都是实数：若 $x\ne0$ 且 $Tx=\lambda x$，则 $\lambda\|x\|^2=\langle Tx,x\rangle=\langle x,Tx\rangle=\bar\lambda\|x\|^2$(中间一步用到自伴性)，故 $\lambda=\bar\lambda$。类似地，对应不同特征值 $\lambda\ne\mu$ 的特征向量正交：$\lambda\langle x,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle=\mu\langle x,y\rangle$ 迫使 $\langle x,y\rangle=0$。

接着，紧性保证确实存在绝对值最大的特征值：对自伴的 $T$，算子范数满足 $\|T\|=\sup_{\|x\|=1}|\langle Tx,x\rangle|$，而紧性使我们能从 $|\langle Tx,x\rangle|$ 的极大化序列中抽出收敛子列，从而得到单位向量 $e_1$，满足 $Te_1=\lambda_1 e_1$，其中 $|\lambda_1|=\|T\|$。

现在用归纳法：已找到带特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}$ 的标准正交特征向量 $e_1,\dots,e_{n-1}$，将 $T$ 限制到闭子空间 $H_n=\{e_1,\dots,e_{n-1}\}^\perp$ 上。因为 $T$ 把 $H_n$ 映到自身(自伴性使不变子空间的正交补也是不变的)，并且在其上仍是紧且自伴的，同样的最大特征值论证给出下一个特征向量 $e_n\in H_n$，满足 $|\lambda_n|\le|\lambda_{n-1}|$。

最后，若此过程不终止，则 $\lambda_n\to0$：否则会有无穷多个 $|\lambda_n|$ 始终大于某个 $\delta>0$，但那样 $\{Te_n\}=\{\lambda_ne_n\}$ 就不会有收敛子列(由标准正交性，当 $n\ne m$ 时 $\|\lambda_ne_n-\lambda_me_n\|^2\ge\delta^2\cdot2$)，这与 $T$ 的紧性矛盾。此后可验证 $\{e_n\}$ 的闭张成与 $\ker T$ 一起穷尽了 $H$，且 $T$ 在 $\ker T$ 上作用为 $0$，由此对所有 $x\in H$ 得到特征展开 $Tx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n$。

这个定理解释了为什么无界算子在量子力学中是不可避免的：位置、动量、哈密顿量这类物理上重要的对称算子，实际上不能定义在 $H$ 的每一个向量上(只能定义在某个稠密的定义域上)，因为如果它们真能处处有定义，这个定理就会迫使它们是有界的——但它们显然不是。

我们使用闭图定理(贝尔纲定理的一个标准推论)：定义在整个希尔伯特空间上的线性算子有界，当且仅当它的图 $\{(x,Tx):x\in H\}$ 在 $H\times H$ 中是闭的，即只要 $x_n\to x$ 且 $Tx_n\to y$，就必有 $y=Tx$。

设 $x_n\to x$ 且 $Tx_n\to y$。我们要证明 $y=Tx$。对任意固定的 $z\in H$，由对称性对每个 $n$ 都有 $\langle Tx_n,z\rangle=\langle x_n,Tz\rangle$。

两边取 $n\to\infty$：左边由 $Tx_n\to y$ 及内积的连续性得 $\langle Tx_n,z\rangle\to\langle y,z\rangle$；右边由 $x_n\to x$ 得 $\langle x_n,Tz\rangle\to\langle x,Tz\rangle$。于是 $\langle y,z\rangle=\langle x,Tz\rangle=\langle Tx,z\rangle$(右边再次用到对称性)。

由于 $\langle y,z\rangle=\langle Tx,z\rangle$ 对每个 $z\in H$ 都成立，故对所有 $z$ 都有 $\langle y-Tx,z\rangle=0$；取 $z=y-Tx$ 得 $\|y-Tx\|^2=0$，故 $y=Tx$。因此 $T$ 的图是闭的，由闭图定理得出 $T$ 是有界的。