Định lýĐã chứng minh

Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa

Phát biểu

Nếu $u$ điều hòa ( $\Delta u = 0$ ) trên một tập mở liên thông bị chặn $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ và liên tục trên $\overline{\Omega}$ , thì $u$ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên biên $\partial\Omega$ ; nếu $u$ đạt cực đại hoặc cực tiểu tại một điểm trong, thì $u$ là hằng số.

Vì sao đúng?

Một hàm điều hòa không có gồ lên hay lõm xuống cục bộ của riêng nó — giá trị tại bất kỳ điểm nào đúng bằng trung bình các giá trị của nó trên mặt cầu bao quanh bất kỳ. Một hàm luôn bằng trung bình cục bộ của chính nó thì không thể có đỉnh hay đáy thực sự ở bên trong; mọi giá trị cực trị đều phải do biên áp đặt.

Phác thảo chứng minh

Dùng tính chất giá trị trung bình: với $u$ điều hòa và mọi hình cầu $B(x_0,r) \subset \Omega$ , $u(x_0)$ bằng trung bình của $u$ trên mặt cầu $\partial B(x_0,r)$ . Nếu $u$ đạt cực đại trong $M$ tại $x_0$ , trung bình trên mặt cầu bất kỳ như vậy bằng $M$ trong khi mọi giá trị trên mặt cầu đều $\le M$ , buộc $u \equiv M$ trên mặt cầu đó; lan truyền lập luận này qua một chuỗi hình cầu chồng lấp phủ miền liên thông cho thấy $u \equiv M$ khắp nơi, nên cực đại cũng đạt trên biên, và nó không thể là cực đại trong thực sự trừ khi $u$ là hằng số. Nguyên lý cực tiểu suy ra bằng cách áp dụng cùng lập luận cho $-u$ .

Chủ đề chứa định lý này

Phương trình Laplace

Định lý liên quan

Định lý Gauss–Ostrogradsky (định lý phân kỳ)

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

David Gilbarg, Neil S. Trudinger (1983). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order · DOI:10.1007/978-3-642-61798-0