Định lý tồn tại cân bằng Nash
Phát biểu
Mọi trò chơi dạng chiến lược hữu hạn với số người chơi hữu hạn, mỗi người có tập chiến lược thuần túy hữu hạn, đều có ít nhất một cân bằng Nash bằng chiến lược hỗn hợp: một bộ chiến lược (có thể ngẫu nhiên hóa), mỗi người một chiến lược, sao cho không người chơi nào có thể cải thiện lợi ích kỳ vọng của mình bằng cách đơn phương đổi chiến lược, với chiến lược của những người khác giữ nguyên.
Vì sao đúng?
Hãy hình dung mỗi người chơi liên tục điều chỉnh chiến lược (ngẫu nhiên hóa) của mình để phản ứng tốt nhất với những gì người khác đang làm. Điều này định nghĩa một ánh xạ từ không gian các bộ chiến lược vào chính nó. Vì không gian chiến lược (tích các đơn hình, mỗi người một đơn hình) là compact và lồi, và ánh xạ phản ứng tốt nhất có tính chất tốt (giá trị lồi, nửa liên tục trên), ánh xạ này không thể tránh khỏi có điểm bất động — một bộ chiến lược mà mọi người chơi đã phản ứng tốt nhất với những người khác, nên không ai muốn đổi.
Phác thảo chứng minh
Với mỗi người chơi , định nghĩa ánh xạ phản ứng tốt nhất đưa bộ chiến lược hỗn hợp của các đối thủ tới tập các chiến lược hỗn hợp của tối đa hóa lợi ích kỳ vọng của ; có giá trị lồi khác rỗng và đồ thị đóng vì lợi ích là đa tuyến tính và các đơn hình chiến lược là tập lồi compact. Kết hợp tất cả người chơi ta được một ánh xạ đa trị trên tích compact lồi của các đơn hình, thỏa mãn giả thiết của định lý điểm bất động Kakutani (mở rộng đa trị của định lý điểm bất động Brouwer); bất kỳ điểm bất động nào cũng chính là một cân bằng Nash theo định nghĩa.
Người chứng minh
Chủ đề chứa định lý này
Định lý liên quan
Chứng minh từng bước
Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.
Tài liệu tham khảo
- John F. Nash Jr. (1950). Equilibrium points in n-person games
- John F. Nash Jr. (1951). Non-Cooperative Games