Định lýĐã chứng minh

Định lý điểm bất động Brouwer

Phát biểu

Mọi hàm liên tục $f: D^n \to D^n$ từ hình cầu đơn vị đóng trong $\mathbb{R}^n$ vào chính nó đều có ít nhất một điểm bất động, tức là một điểm $x$ với $f(x) = x$ .

Vì sao đúng?

Khuấy một cốc cà phê kiểu gì cũng được, miễn chuyển động liên tục và cà phê không tràn ra ngoài cốc: luôn có một điểm của chất lỏng quay về đúng vị trí ban đầu của nó. Vò nhàu một tờ giấy rồi trải phẳng lại bên trong đường viền ban đầu, không xé rách: luôn có một điểm của tờ giấy rơi đúng lên vị trí cũ của chính nó.

Phác thảo chứng minh

Giả sử phản chứng rằng $f$ không có điểm bất động. Với mỗi $x \in D^n$ , kẻ tia xuất phát từ $f(x)$ đi qua $x$ ; gọi $r(x)$ là điểm tia này cắt mặt cầu biên $S^{n-1}$ . Ánh xạ $r$ như vậy là một ánh xạ liên tục $D^n \to S^{n-1}$ và là ánh xạ đồng nhất trên biên - tức là một phép co rút (retraction) từ hình cầu lên mặt cầu biên của nó. Tô pô đại số (sự kiện mặt cầu biên không phải là một retract của hình cầu, phát hiện được qua đồng điều, hoặc với $n=1$ thì trực tiếp qua định lý giá trị trung gian) cho thấy không tồn tại phép co rút như vậy, dẫn tới mâu thuẫn.

Chủ đề chứa định lý này

Đồng điều và đối đồng điều

Định lý liên quan

Định lý Borsuk–Ulam Định lý giá trị trung gian

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

L. E. J. Brouwer (1911). Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten · DOI:10.1007/bf01456931
John Milnor (1978). Analytic proofs of the 'hairy ball theorem' and the Brouwer fixed point theorem