Tính chính quy toàn cục trong hai chiều (Ladyzhenskaya)

Viết độ xoáy (một vô hướng trong 2 chiều) là $\omega=\partial_x u_2-\partial_y u_1$ và thay phương trình động lượng vào $\partial_t\omega+u\cdot\nabla\omega$. Vì $u$ không phân kỳ và hai chiều, tính toán trực tiếp cho thấy mọi số hạng từ $(u\cdot\nabla)u$ có thể kéo dãn $\omega$ đều triệt tiêu, chỉ còn phương trình vận chuyển-khuếch tán $\omega_t+u\cdot\nabla\omega=\nu\Delta\omega$ không có số hạng nguồn.

Một phương trình vận chuyển-khuếch tán không có nguồn tuân theo nguyên lý cực đại: dọc theo quỹ đạo $\dot X(t)=u(X(t),t)$ của một hạt chất lỏng, $\frac{d}{dt}\omega(X(t),t)=\nu\Delta\omega(X(t),t)$, và khuếch tán không thể làm tăng giá trị cực đại hay giảm giá trị cực tiểu. Do đó $\|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty}\le\|\omega_0\|_{L^\infty}$ với mọi $t\ge0$: độ xoáy không bao giờ bùng nổ.

Khi độ xoáy bị chặn đều theo thời gian, tính chính quy elliptic áp dụng cho hàm dòng (khôi phục $u$ từ $\omega$) chặn mọi đạo hàm không gian của $u$ theo $\|\omega\|_{L^\infty}$, nên $u$ vẫn nằm trong mọi không gian Sobolev nó bắt đầu.

Lặp lại lập luận này — độ xoáy bị chặn cho gradient vận tốc bị chặn, điều này kiểm soát các đạo hàm cao hơn qua chính phương trình — cho thấy nghiệm vẫn trơn với mọi $t>0$, không thể bùng nổ trong thời gian hữu hạn; đây chính là điều chưa biết được trong ba chiều, nơi số hạng kéo dãn xoáy $(\omega\cdot\nabla)u$ xuất hiện.