纳维-斯托克斯方程

尽管非线性项使方程难以精确求解,但粘性会持续消耗动能；仅凭这一定量事实就足以构造近似解并取极限,即使尚不知道极限是否唯一或光滑。

用加尔金投影法近似方程:选取斯托克斯算子的特征函数作为基,将方程投影到前 $n$ 个基张成的空间上,求解得到的有限维常微分方程组得到近似解 $u_n$；标准常微分方程理论保证其在短时间区间内存在。

将加尔金方程与 $u_n$ 本身作内积。非线性项和压力项会消失（利用无散度约束后它们与 $u_n$ 正交）,得到能量恒等式 $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u_n\|_{L^2}^{2}+\nu\|\nabla u_n\|_{L^2}^{2}=0$。对时间积分可得 $u_n$ 在 $L^{\infty}(L^2)\cap L^2(H^1)$ 中对 $n$ 一致有界,特别地短时解可延展到全时间。

这些一致性界使我们可以取出 $u_n$ 的一个子列,在 $L^{\infty}(L^2)$ 中弱*收敛,在 $L^2(H^1)$ 中弱收敛到某极限 $u$。Aubin–Lions 紧致性引理将其提升为在有界时空区域上的 $L^2$ 强收敛,这正是对二次非线性项 $(u_n\cdot\nabla)u_n\to(u\cdot\nabla)u$ 取极限所需要的。

在加尔金方程的弱形式中取极限表明 $u$ 在分布意义下满足纳维-斯托克斯方程,而范数在极限下的弱下半连续性保持了能量不等式。这个 $u$ 就是列雷的全局弱解；它是否唯一且光滑正是悬而未决的千禧年问题本身。

三维涡度满足 $\omega_t+u\cdot\nabla\omega=(\omega\cdot\nabla)u+\nu\Delta\omega$,项 $(\omega\cdot\nabla)u$ 可以通过拉伸放大涡度。在二维中,涡度是垂直于运动平面的标量,因此该拉伸项恒等于零,只剩下输送和扩散 —— 没有任何机制能无限制地放大它。

将涡度（二维中为标量）写为 $\omega=\partial_x u_2-\partial_y u_1$,并将动量方程代入 $\partial_t\omega+u\cdot\nabla\omega$。因为 $u$ 无散度且为二维,直接计算表明来自 $(u\cdot\nabla)u$ 且会拉伸 $\omega$ 的所有项都相互抵消,只剩下无源项的输送扩散方程 $\omega_t+u\cdot\nabla\omega=\nu\Delta\omega$。

无源项的输送扩散方程满足最大原理:沿着流体粒子的轨迹 $\dot X(t)=u(X(t),t)$,有 $\frac{d}{dt}\omega(X(t),t)=\nu\Delta\omega(X(t),t)$,而扩散不会增大最大值或减小最小值。因此对所有 $t\ge0$ 有 $\|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty}\le\|\omega_0\|_{L^\infty}$:涡度从不爆发。

一旦涡度在时间上一致有界,对流函数（从 $\omega$ 恢复 $u$）应用椅圆正则性,就能用 $\|\omega\|_{L^\infty}$ 控制 $u$ 的所有空间导数,因此 $u$ 保持在它最初所在的每个索尔空间中。

重复这一论证 —— 有界涡度给出有界速度梯度,后者又通过方程本身控制高阶导数 —— 表明解在所有 $t>0$ 上保持光滑,不可能发生有限时间爆发；这正是在存在涡拉伸项 $(\omega\cdot\nabla)u$ 的三维情况中尚未知晓的结果。