Định lýĐã chứng minh

Định lý Noether

Phát biểu

Với hệ vật lý được mô tả bởi Lagrangian $L(q, \dot q, t)$ mà tác dụng $S = \int L\, dt$ bất biến dưới một họ biến đổi liên tục một tham số của tọa độ $q$ (một đối xứng liên tục), tồn tại một đại lượng tương ứng $Q(q, \dot q, t)$ được bảo toàn dọc theo mọi nghiệm của phương trình Euler–Lagrange, tức $\dfrac{dQ}{dt} = 0$ .

Vì sao đúng?

Mọi đối xứng liên tục của một định luật vật lý đều giấu bên trong một định luật bảo toàn. Nếu các định luật vật lý trông giống hệt sau khi bạn dịch mọi đồng hồ tiến cùng một khoảng (đối xứng tịnh tiến thời gian), năng lượng được bảo toàn; nếu chúng giống hệt sau khi dịch mọi vị trí theo cùng một vector (đối xứng tịnh tiến không gian), động lượng được bảo toàn; nếu chúng giống hệt sau khi quay cả hệ (đối xứng quay), mômen động lượng được bảo toàn. Định lý Noether là cuốn từ điển chính xác biến 'vật lý không quan tâm tới phép biến đổi này' thành 'đại lượng này không bao giờ đổi.'

Phác thảo chứng minh

Cho $q_s(t)$ là họ đường cong thu được bằng cách áp dụng phép biến đổi đối xứng với tham số $s$ lên một nghiệm $q(t)$ , với $q_0 = q$ . Tính bất biến của tác dụng nghĩa là $\frac{d}{ds}\Big|_{s=0} S[q_s] = 0$ với mọi nghiệm. Khai triển đạo hàm này và lấy tích phân từng phần số hạng chứa $\dot{(\delta q)}$ biến nó thành một số hạng biên cộng với một số hạng tỷ lệ với biểu thức Euler–Lagrange, số hạng này triệt tiêu trên nghiệm. Phần còn lại chính là $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\, \delta q\right) = 0$ dọc theo nghiệm, xác định $Q = \frac{\partial L}{\partial \dot q}\, \delta q$ là đại lượng bảo toàn, với $\delta q = \frac{d}{ds}\big|_{s=0} q_s$ là hàm sinh của đối xứng.

Người phát biểu

Emmy Noether

Người chứng minh

chứng minh năm 1918Emmy Noether

Chủ đề chứa định lý này

Cơ học Lagrange và Hamilton

Định lý liên quan

Phương trình Euler–Lagrange Định lý Liouville (cơ học Hamilton)

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Emmy Noether (1918). Invariante Variationsprobleme
Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko (2002). Classical Mechanics