Công thứcĐã chứng minh

Phương trình Euler–Lagrange

Phát biểu

Cho $J[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(t, q(t), \dot q(t))\, dt$ là một phiếm hàm trên các đường cong $q(t)$ với hai đầu cố định. Một đường cong $q$ là điểm dừng của $J$ (đặc biệt khi nó cực tiểu hoặc cực đại hóa $J$ ) khi và chỉ khi nó thỏa mãn, với mỗi tọa độ $q_i$ : $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial q_i} = 0$ .

Vì sao đúng?

Trong tất cả các đường mà một hệ có thể đi theo giữa hai sự kiện cố định, đường mà tự nhiên thực sự chọn là đường làm cho 'tác dụng' không nhạy với những dao động nhỏ — lay nhẹ đường đi theo bất kỳ hướng nào, ở bậc nhất, không làm thay đổi tác dụng. Phương trình Euler–Lagrange chính là điều kiện cục bộ, tại từng điểm, đảm bảo không có sự lay nhẹ nào như vậy có thể làm giảm hoặc tăng tác dụng, biến việc tìm kiếm toàn cục trên mọi đường đi thành một phương trình vi phân giải được từng bước.

Phác thảo chứng minh

Xét biến phân $q_\varepsilon(t) = q(t) + \varepsilon\, \eta(t)$ với $\eta(t_1) = \eta(t_2) = 0$ . Tính dừng nghĩa là $\frac{d}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon=0} J[q_\varepsilon] = 0$ với mọi $\eta$ như thế. Đạo hàm dưới dấu tích phân cho $\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta\right) dt = 0$ ; lấy tích phân từng phần số hạng thứ hai (các số hạng biên triệt tiêu vì $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ ) cho $\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)\eta\, dt = 0$ . Vì $\eta$ tùy ý, bổ đề cơ bản của phép tính biến phân buộc biểu thức trong ngoặc triệt tiêu đồng nhất, đó chính là phương trình Euler–Lagrange.

Người phát biểu

nêu năm 1755Leonhard Euler nêu năm 1755Joseph-Louis Lagrange

Người chứng minh

Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange

Chủ đề chứa định lý này

Cơ học Lagrange và Hamilton

Định lý liên quan

Định lý Noether Định lý Liouville (cơ học Hamilton)

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

I. M. Gelfand, S. V. Fomin (1963). Calculus of Variations
Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko (2002). Classical Mechanics