Math Labs
Định lýĐã chứng minh

Định lý Liouville (cơ học Hamilton)

Phát biểu

Cho hệ Hamilton với tọa độ không gian pha (q,p)(q, p) tiến triển theo phương trình Hamilton q˙=∂H/∂p\dot q = \partial H/\partial p, p˙=−∂H/∂q\dot p = -\partial H/\partial q, và gọi φt\varphi_t là dòng chảy đưa mỗi điểm pha tiến lên theo thời gian tt. Khi đó với mọi miền RR của không gian pha, thể tích của φt(R)\varphi_t(R) (tính theo độ đo Lebesgue chuẩn dq dpdq\, dp) bằng thể tích của RR với mọi tt: thể tích không gian pha được bảo toàn dưới dòng chảy Hamilton.

Vì sao đúng?

Hình dung một đám mây các trạng thái ban đầu có thể của một hệ, lấp đầy một khối trong không gian pha. Khi thời gian trôi, mỗi điểm của khối di chuyển theo quỹ đạo riêng, nên khối bị kéo dãn, xoắn, biến dạng — nhưng định lý Liouville nói rằng thể tích toàn phần của nó không bao giờ co lại hay phình ra, giống như một chất lỏng không nén được. Dù độ bất định về vị trí hay động lượng riêng lẻ của hệ có thể tăng lên (khối có thể trở nên mỏng và kéo dài, lan ra một vùng rộng lớn), 'lượng không gian pha' tổng cộng mà nó chiếm giữ không bao giờ đổi.

Phác thảo chứng minh

Tốc độ thay đổi của một phần tử thể tích được vận chuyển bởi một dòng chảy bằng phần tử thể tích đó nhân với độ phân kỳ của trường vận tốc dòng chảy. Với phương trình Hamilton, trường vận tốc là (q˙,p˙)=(∂H/∂p,−∂H/∂q)(\dot q, \dot p) = (\partial H/\partial p, -\partial H/\partial q), có độ phân kỳ ∂∂q(∂H∂p)+∂∂p(−∂H∂q)=∂2H∂q ∂p−∂2H∂p ∂q=0\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right) + \frac{\partial}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right) = \frac{\partial^2 H}{\partial q\, \partial p} - \frac{\partial^2 H}{\partial p\, \partial q} = 0 do tính đối xứng của đạo hàm riêng hỗn hợp. Trường vận tốc không phân kỳ chính là điều kiện (qua phương trình liên tục / phương trình Liouville cho mật độ không gian pha) để dòng chảy bảo toàn thể tích, chứng minh định lý.

Chủ đề chứa định lý này

Cơ học Lagrange và Hamilton

Định lý liên quan

Định lý NoetherPhương trình Euler–Lagrange

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

  1. V. I. Arnold (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics
  2. Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko (2002). Classical Mechanics