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定理已证明

刘维尔定理（哈密顿力学）

命题陈述

设一个相空间坐标为 (q,p)(q, p) 的哈密顿系统按哈密顿方程 q˙=∂H/∂p\dot q = \partial H/\partial p、p˙=−∂H/∂q\dot p = -\partial H/\partial q 演化，令 φt\varphi_t 表示将每个相点向前推进时间 tt 的流。那么对相空间中任意区域 RR，φt(R)\varphi_t(R) 的体积（按标准勒贝格测度 dq dpdq\, dp 计算）都等于 RR 的体积，且对每个 tt 都成立：相空间体积在哈密顿流下守恒。

为什么成立?

设想一团代表系统可能初始状态的云，充满相空间中的某个区域。随着时间推移，该区域中的每个点都沿各自的轨迹运动，因此这团云会被拉伸、扭曲、变形——但刘维尔定理指出，其总体积永远不会收缩或膨胀，就像不可压缩的流体一样。尽管系统在位置或动量上各自的不确定性可能增大（这团云可能变得又薄又长，铺展到很大的区域），但它所占据的『相空间总量』永远不变。

证明思路

由流所输运的体积元的变化率等于该体积元乘以流速度场的散度。对于哈密顿方程，速度场为 (q˙,p˙)=(∂H/∂p,−∂H/∂q)(\dot q, \dot p) = (\partial H/\partial p, -\partial H/\partial q)，其散度由混合偏导数相等得 ∂∂q(∂H∂p)+∂∂p(−∂H∂q)=∂2H∂q ∂p−∂2H∂p ∂q=0\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right) + \frac{\partial}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right) = \frac{\partial^2 H}{\partial q\, \partial p} - \frac{\partial^2 H}{\partial p\, \partial q} = 0。无散度的速度场正是（通过连续性方程／相空间密度的刘维尔方程）流保持体积的条件，由此证明该定理。

用到此定理的主题

拉格朗日力学与哈密顿力学

相关定理

诺特定理欧拉–拉格朗日方程

分步证明

该定理暂无分步证明。

参考文献

  1. V. I. Arnold (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics
  2. Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko (2002). Classical Mechanics