Định lýĐã chứng minh

Định lý Picard–Lindelöf

Phát biểu

Cho $f(t,y)$ liên tục trên một miền chứa $(t_0,y_0)$ và liên tục Lipschitz theo $y$ . Khi đó bài toán giá trị đầu $y' = f(t,y)$ , $y(t_0) = y_0$ có nghiệm duy nhất trên một khoảng nào đó quanh $t_0$ .

Vì sao đúng?

Nếu vế phải của phương trình vi phân không thay đổi quá đột ngột khi $y$ biến thiên (tức thỏa điều kiện Lipschitz), thì phương trình hoạt động như một quy tắc đặt đúng: xuất phát từ một điểm, chỉ có đúng một quỹ đạo mở ra, ít nhất trong một khoảng thời gian ngắn. Hai quỹ đạo không bao giờ cắt nhau, vì cắt nhau đồng nghĩa với hai tương lai khác nhau từ cùng một hiện tại.

Phác thảo chứng minh

Viết lại bài toán giá trị đầu thành phương trình tích phân $y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\,ds$ và định nghĩa phép lặp Picard $y_{n+1}(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y_n(s))\,ds$ . Trên một khoảng đủ nhỏ, điều kiện Lipschitz khiến ánh xạ này trở thành ánh xạ co trên không gian các hàm liên tục với chuẩn sup, nên định lý điểm bất động Banach cho một điểm bất động duy nhất, chính là nghiệm.

Chủ đề chứa định lý này

Phương trình vi phân cấp một

Định lý liên quan

Định lý Poincaré–Bendixson

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Earl A. Coddington, Norman Levinson (1955). Theory of Ordinary Differential Equations