Định lýĐã chứng minh

Định lý Poincaré–Bendixson

Phát biểu

Cho $\dot{x} = f(x)$ là một trường vectơ phẳng lớp $C^1$ , và giả sử một quỹ đạo thuận nằm trong một miền compact không chứa điểm bất động nào. Khi đó tập giới hạn $\omega$ của quỹ đạo đó là một quỹ đạo tuần hoàn.

Vì sao đúng?

Trong không gian hai chiều, một quỹ đạo không bao giờ rời khỏi một miền bị chặn và không bao giờ dừng lại ở một điểm bất động thì không thể lang thang mãi mãi mà không lặp lại chính mình, vì nó không thể tự cắt chính nó và bị mắc kẹt bởi tô pô của mặt phẳng; cuối cùng nó phải xoắn ốc tiến tới một vòng khép kín và đi vòng quanh mãi mãi. Đây là hiện tượng thực sự chỉ có ở mặt phẳng — hỗn loạn chỉ có thể xảy ra từ ba chiều trở lên, khi các quỹ đạo có đủ không gian để luồn qua nhau mà không cắt nhau.

Phác thảo chứng minh

Chứng minh tập giới hạn $\omega$ , tức tập $\omega$ , là khác rỗng, compact, liên thông và bất biến, dựa vào tính compact của miền giữ. Nếu $\omega$ không chứa điểm bất động nào, lấy một điểm $p \in \omega$ bất kỳ và quỹ đạo của nó; dùng một đoạn ngang (một cung ngắn cắt ngang dòng chảy) qua $p$ cùng định lý đường cong Jordan, chứng minh các giao điểm liên tiếp của quỹ đạo qua $p$ với đoạn ngang là đơn điệu, kết hợp với việc $\omega$ là tập giới hạn của chính một quỹ đạo buộc quỹ đạo đó phải là một đường cong khép kín (tuần hoàn), và $\omega$ chính là nó.

Người phát biểu

nêu năm 1881Henri Poincaré

Chủ đề chứa định lý này

Tính ổn định của hệ động lực

Định lý liên quan

Định lý ergodic Birkhoff

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney (2004). Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos