Math Labs
Định lýĐã chứng minh

Luật thuận nghịch bậc hai

Phát biểu

Với hai số nguyên tố lẻ phân biệt p,qp,q, (pq)(qp)=(−1)p−12⋅q−12\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}, trong đó (⋅⋅)\left(\dfrac{\cdot}{\cdot}\right) là ký hiệu Legendre.

Vì sao đúng?

Định lý liên kết hai câu hỏi tưởng chừng không liên quan — liệu pp có là số chính phương theo mô đun qq hay không, và liệu qq có là số chính phương theo mô đun pp hay không — cho thấy chúng gần như luôn trùng nhau, chỉ khác nhau khi cả hai số nguyên tố đều dư 33 khi chia cho 44.

Phác thảo chứng minh

Gauss đưa ra nhiều chứng minh khác nhau trong đời mình. Một hướng cổ điển (theo Eisenstein) dùng bổ đề Gauss để biểu diễn mỗi ký hiệu Legendre thành một dấu xác định bằng cách đếm một số thặng dư nhất định, rồi đếm số điểm nguyên trong một hình chữ nhật theo hai cách khác nhau; một phép đối xứng hình học (phản chiếu hình chữ nhật qua tâm) khớp hai cách đếm và cho ra công thức thuận nghịch.

Người phát biểu

nêu năm 1783Leonhard Euler

Người chứng minh

chứng minh năm 1796Carl Friedrich Gauss

Chủ đề chứa định lý này

Thặng dư bậc hai

Định lý liên quan

Định lý Fermat nhỏ

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

  1. Carl Friedrich Gauss (trans. Arthur A. Clarke) (1986). Disquisitiones Arithmeticae · DOI:10.1007/978-1-4939-7560-0
  2. Kenneth Ireland, Michael Rosen (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory · DOI:10.1007/978-1-4757-2103-4