Định lýĐã chứng minh

Định lý hạng–số chiều nhân

Phát biểu

Nếu $T: V \to W$ là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vectơ hữu hạn chiều, thì $\dim(\ker T) + \dim(\operatorname{im} T) = \dim V$ .

Vì sao đúng?

Mỗi chiều của không gian nguồn $V$ phải đi về đâu đó dưới tác động của $T$ : hoặc bị nghiền về không (đóng góp vào hạt nhân), hoặc sống sót và xuất hiện như một hướng thực sự mới trong ảnh. Vì đó là hai số phận duy nhất và chúng không bao giờ chồng lấn, số chiều của hai kết quả phải cộng lại đúng bằng số chiều ban đầu.

Phác thảo chứng minh

Chọn cơ sở $v_1,\dots,v_k$ của $\ker T$ rồi mở rộng thành cơ sở $v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n$ của $V$ . Chỉ ra $T(v_{k+1}),\dots,T(v_n)$ tạo thành cơ sở của $\operatorname{im} T$ : chúng sinh ra nó vì $T(v_1),\dots,T(v_k)$ bằng không, và chúng độc lập tuyến tính vì bất kỳ quan hệ phụ thuộc nào giữa chúng sẽ kéo về một quan hệ phụ thuộc trong $V$ liên quan tới một phần tử khác không của $\ker T$ nằm ngoài span của $v_1,\dots,v_k$ , mâu thuẫn. Vậy $\dim(\operatorname{im}T)=n-k$ .

Chủ đề chứa định lý này

Không gian vectơ

Định lý liên quan

Định lý Cayley–Hamilton

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Sheldon Axler (2015). Linear Algebra Done Right