Định lý phổ (ma trận đối xứng thực)

Phát biểu

Mọi ma trận đối xứng thực $A$ (tức $A^{\mathsf T}=A$) đều chéo hóa trực giao được: tồn tại ma trận trực giao $Q$ và ma trận đường chéo $D$ với các phần tử thực sao cho $A = QDQ^{\mathsf T}$; tương đương, $A$ có một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng thực.

Vì sao đúng?

Ma trận đối xứng không bao giờ vặn xoắn không gian theo kiểu ma trận tổng quát có thể — nó chỉ kéo giãn dọc theo một bộ trục vuông góc với nhau. Định lý phổ nói rằng những trục đó luôn tồn tại và đủ để mô tả toàn bộ tác động của $A$: xoay để thẳng hàng với chúng (ma trận trực giao $Q$), kéo giãn từng trục theo hệ số thực riêng (ma trận đường chéo $D$), rồi xoay ngược lại.

Chủ đề chứa định lý này

Định lý liên quan

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.