定理已证明

凯莱–哈密顿定理

命题陈述

任意方阵 $A$ 都满足自身的特征多项式:若 $p(\lambda)=\det(\lambda I - A)$ ,则 $p(A) = 0$ (零矩阵)。

为什么成立?

特征多项式 $p(\lambda)$ 的构造方式恰好使得当 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值时 $p(\lambda)=0$ 。把矩阵 $A$ 本身代入 $\lambda$ 的位置看似是很大的跳跃,但之所以成立,是因为 $A$ 作用在每个特征向量上的方式与标量特征值完全相同,而(在可对角化的情形下)特征向量张成了整个空间——因此 $p(A)$ 消灭了每一个方向,也就是说 $p(A)$ 就是零矩阵。

证明思路

对可对角化的 $A=PDP^{-1}$ , $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ ,有 $p(A)=Pp(D)P^{-1}$ ,又因每个 $\lambda_i$ 都是 $p$ 的根,故 $p(D)=\mathrm{diag}(p(\lambda_1),\dots,p(\lambda_n))=0$ 。一般(不可对角化)的情形可由稠密性/连续性论证得到,或直接利用伴随矩阵恒等式 $\mathrm{adj}(\lambda I-A)(\lambda I - A)=p(\lambda)I$ 作为矩阵上的多项式恒等式处理。

提出者

阿瑟·凯莱

用到此定理的主题

特征值与对角化

参考文献

Roger A. Horn, Charles R. Johnson (2012). Matrix Analysis · DOI:10.1017/CBO9781139020411