三条中线交于重心一点

第一步（中点坐标）。把 $\triangle ABC$ 放在坐标平面上，顶点为 $A$、$B$、$C$。边 $BC$ 的中点 $M$ 是 $B$ 与 $C$ 的平均：$M = \left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\, \dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$。

第二步（沿 $AM$ 走三分之二处的点）。从 $A$ 朝 $M$ 走线段 $AM$ 的 $\dfrac{2}{3}$，所得点为 $A + \dfrac{2}{3}(M - A) = \dfrac{1}{3}A + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{B+C}{2} = \dfrac{A+B+C}{3}$，给出坐标 $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$。

第三步（对称性迫使三线共点）。注意最终公式 $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ 关于 $A$、$B$、$C$ 完全对称——交换 $A$ 与 $B$ 的角色（求中线 $BN$ 上 $\dfrac{2}{3}$ 处的点）或交换 $A$ 与 $C$ 的角色（沿 $CP$），都会得到完全相同的点 $G$。因此三条中线都经过 $G$，且 $G$ 位于从每个顶点到对边中点 $\dfrac{2}{3}$ 的位置（$AG = \dfrac{2}{3} AM$）。