Ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm

Bước 1 (tọa độ trung điểm). Đặt $\triangle ABC$ vào mặt phẳng tọa độ với các đỉnh $A$, $B$, $C$. Trung điểm $M$ của cạnh $BC$ là trung bình cộng của $B$ và $C$: $M = \left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\, \dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$.

Bước 2 (điểm ở vị trí hai phần ba trên $AM$). Đi từ $A$ về phía $M$ một đoạn bằng $\dfrac{2}{3}$ của $AM$: điểm thu được là $A + \dfrac{2}{3}(M - A) = \dfrac{1}{3}A + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{B+C}{2} = \dfrac{A+B+C}{3}$, cho tọa độ $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$.

Bước 3 (tính đối xứng buộc đồng quy). Chú ý rằng công thức cuối $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ hoàn toàn đối xứng theo $A$, $B$, $C$ — đổi vai trò của $A$ và $B$ (để tìm điểm ở vị trí $\dfrac{2}{3}$ trên trung tuyến $BN$) hoặc của $A$ và $C$ (trên $CP$) đều cho ra đúng cùng một điểm $G$. Vậy cả ba trung tuyến đều đi qua $G$, và $G$ nằm ở vị trí $\dfrac{2}{3}$ tính từ mỗi đỉnh tới trung điểm đối diện ($AG = \dfrac{2}{3} AM$).